给定一个整数 n,求有多少正整数数对 (x,y) 满足 1x+1y=1n!。
输入格式
一个整数 n。
输出格式
一个整数,表示满足条件的数对数量。
答案对 109+7 取模。
数据范围
1≤n≤106
输入样例:
2
输出样例:
3
样例解释
共有三个数对 (x,y) 满足条件,分别是 (3,6),(4,4),(6,3)。
解析:
1/x+1/y=1/n!
=>
(y+x)/(xy)=1/n!
n!x+n!y=xy
n!x=xy-n!y
n!x=y(x-n!)
y=(n!x)/(x-n!)
y=(x-n!+n!)*n!/(x-n!)
y=n!+n!^2/(x-n!)
由上式公式 只有x我们不知道
但其实我们只要求n!^2的约数个数
约数个数想到了唯一分解。把n!分解成 p1^a1*p1^a2.....*pn^an
因为现在求n!^2 就相当于求p1^2a1*p2^2a2......pn^2an
那么n!约数个数公式是(a1+1)*(a2+1)*(a3+1)....(an+1)
现在n!^2哥约数个数就是(2*a1+1)*(2*a2+1)*(2*a3+1).......(2*an+1)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int MOD=1e9+7;
const int N=1e6+1000;
ll prime[N],n;
bool st[N];
int cnt;
void init(int n)
{
for(int i=2;i<=n;i++)
{
if(!st[i]) prime[++cnt]=i;
for(int j=1;j<=cnt&&prime[j]<=n/i;j++)
{
st[prime[j]*i]=true;
if(i%prime[j]==0) break;
}
}
}
int main()
{
scanf("%d",&n);
init(n); ll res=1;
for(int i=1;i<=cnt;i++)
{
ll p=prime[i];
ll s=0;
for(int j=n;j;j/=p) s+=j/p;
res=(res*(2*s+1))%MOD;
}
cout<<res<<endl;
}