学习笔记
学习书目：《蝴蝶效应之谜：走近分形与混沌 》-张天蓉；

分形与音乐

一般来说，人们不会否认艺术（如雕塑、建筑、绘画等）与数学的关系，因为它们需要一点理性的计算。但如果说到音乐与数学的关系，大多数人可能很迷惘：数学与音乐有关系吗？

毕达哥拉斯认为“数”是世界万物的本源。他认为音阶更多是出于推理而不完全是人耳分辨的纯粹自然结果.

那么分形与音乐又有啥关系呢？

回顾一下我们前几个Blog所说的曼德勃罗集：

我们看到图中除了有属于曼德勃罗集的黑点，还有各种各样颜色的点。那么这些五彩缤纷的点是咋回事呢？

我们都知道，这张美妙的图片出自一个简单的迭代公式：
$Z_{n+1}=Z_n^2 +C \tag{1}$
在计算机程序中，我们设定不同的C值，并从 $Z_0＝0$开始迭代，得到 $Z_2$， $Z_3$， $Z_4$，…如果在多次迭代(比如64次)后， $Z_n$距离原点的距离 $D$小于100，则我们认为这个C属于曼德勃罗集，并将这个C点涂黑; 而其他各种颜色的C点，则可以表示多次迭代(比如64次)后， $Z_n$距离原点的距离D所处的不同层次(比如： $500>D>100$为红 , $1000>D>500$为黄, $D>1000$,为绿, 等等…)

这些不同颜色的点表示了不同的数学迭代性质，那么如果我们不用颜色表示, 而用"哆来咪发唆拉西"表示，那么就产生了分形音乐。

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除了曼德勃罗集之外，人们还研究了许许多多其他种类的分形，并且发现，自然界的分形现象比比皆是：从漫长蜿蜒的海岸线，到人体大脑的结构，分形似乎无所不在！分形最重要的共同特征，是它们的自相似性。除了自相似性之外，分形还表现出随机性，以及非线性迭代引起的非线性畸变。

当仔细观察曼德勃罗集的图形时，在多次放大的过程中，我们会经常见到似曾相识、却又不完全相同的图景，这里的似曾相识，就是来源于分形的自相似性；而不完全相同，则体现了曼德勃罗集图形因非线性变换而表现的貌似随机的一面。

听音乐时，我们不也经常听到某个旋律反复出现，然而又变化多端，并不是只做简单重复的情况吗？也许，正是这种相似性和随机性的和谐结合，你中有我，我中有你，既相似又随机，互相渗透，穿插其中，才使音乐给了我们艺术的美感，给了我们无穷想象的空间。

人们通过计算机，分析了音乐大师们的作品，发现分形结构普遍存在于经典音乐作品中，比如巴赫和贝多芬的作品。不仅仅是像曼德勃罗集那样看起来复杂的分形存在于音乐之中，更广义的说：美妙而简单的数学规律普遍存在于音乐大师的作品之中。

分形与艺术

感性让人自然，理性让人智慧，理性和感性结合才能产生完美。科学是文化艺术的精髓，分形概念除了用于音乐之外，其他如绘画、雕塑、建筑设计中的分形也是比比皆是，自相似是一种易于被观察到的自然结构，因此，经常被创造各种文明的人类，有意或无意地表现于创作的艺术作品之中。

分形设计特别多地用于建筑设计中。有了分形几何之后，各种别出心裁、与分形相关的建筑设计更是层出不穷。

类似于分形音乐，在绘画艺术上，也有人用计算机产生分形绘画，比如说，一座山就可以用一个生成子及一个基本初始图形，按照下面的迭代过程用计算机产生出来。