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题解

• $u:相加和，v：异或和$
• 在二进制运算中，对于某一位来讲：
  $a \wedge b：表示a+b的本位$
  $a\ \&\ b:表示a+b应该进的位$
• 那么 $a\ \&\ b <<1：表示进位之后$
• 所以 $a+b=(a \wedge b)\ +\ 2*(a\ \&\ b )$
• 同理，对于一个二进制运算也是一样的。
• 带入本题： $v=u+2*(a\ \&\ b)$
• 情况一： $u>v \ 或\ (v-u)\%2==1$
  这两种情况都是不满足上面等式，属于非法输入，直接输出-1
• 情况二： $u==v$
  1. $v==0$，这是空数组的情况，输出0
  2. $v\ \ !=0$，说明数组只有一个元素，输出 $\boldsymbol{u}$
• 接下来我们就需要认真分析了。
• 设 $d=(v-u)/2=a\ \&\ b$
• 我们可以构造特殊数组，因为相同的两个数异或值等于0，所以可以构造出 $u \wedge\ 0=u$，这个 $0$ 是由两个 $d$ 组成的，也就是数组为 $\boldsymbol{[u,d,d]}$。
• 我们来验证一下：
  $u+d+d=u+(v-u)=v$
  $u\wedge d\wedge d=u$
  符合题意！也就是说，最多三个元素就可以满足题意。
• 让我们继续思考能否继续缩减成 $2$ 个元素 样例已经告诉我们了
• 我们试着从当前答案进行转化，把其中一个 $d$ 和 $u$ 合并。也就是 $[d,u+d]$
• 我们来验证一下：
  $d+u+d=v$
  $d \wedge (u+d)=((v-u)/2) \wedge (u+(v-u)/2)=((v-u)/2) \wedge ((v+u)/2)$
  【emmm，好像看不出什么】
• 换个思路，我们知道 $\boldsymbol{[u,d,d]}$一定是对的，那么我们把 $\boldsymbol{u,d}合并为一个 \boldsymbol{u+d}$，就是在找这种情况满足的条件。
• 回顾通解： $\boldsymbol{[u,d,d]}$
  $u\wedge d\wedge d=u$
• 再看特解
  $d \wedge (u+d)=\ ?$
• 如果想要这两个式子等价，也就是特解，那么需要保证 $\boldsymbol{u+d==u \wedge d}$
• 至此，我们已经分析完了所有的情况。
• 总结一下后两种情况：
• 情况三： 通解 $\boldsymbol{[u,d,d]}$
• 情况四： 当 $\boldsymbol{u+d==u \wedge d}$ 的时候，特解 $\boldsymbol{[u+d,d]}$
• 情况四的特解条件可以继续化简，步骤如下：
  因为 $a+b=(a \wedge b)\ +\ 2*(a\ \&\ b )$
  带入 $u和d$： $u+d=(u \wedge d)\ +\ 2*(u\ \&\ d )$
  等价于 $u\ \&\ d==0$
• 到这里，就没有什么其他的东西了，顺便说一下，这道题是 Codeforces 1325 D. Ehab the Xorcist 的 原题

AC-Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main() {
    int u, v;
    while(cin >> u >> v) {
        if(u > v || ((v - u) & 1)) {
            cout << -1 << endl;
            continue;
        }
        if(u == v) {
            if(v)
                cout << 1 << endl; // u;
            else
                cout << 0 << endl;
            continue;
        }
        int d = (v - u) / 2;
        if(d & u) {
            cout << 3 << endl; // u, d, d
        }
        else {
            cout << 2 << endl; // d, u+d
        }
    }
}