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1. 朴素贝叶斯分类（最小错误率贝叶斯）
首先得清楚：朴素贝叶斯就是最小错误率贝叶斯，同时也是最大后验概率贝叶斯。
朴素贝叶斯是基于贝叶斯定理与特征条件独立假设的分类方法。
对于给定的训练数据集，先假设输入输出的联合概率分布（特征条件独立）；然后给定一个输入x，利用贝叶斯顶级求出输出y。
可以简单的认为训练的数据可以得到先验概率分布和条件概率分布，然后输入一个实例，计算这个实例的后验概率，通过后验概率的大小判断输出值y。
1.1 理论：
设训练空间为，是由P(X,Y)独立同分布产生
先验概率分布：，其中
是训练空间的输出标签。
例如一个训练数据的输入是那么
，
。
条件概率分布：，可以理解为在
发生的概率下，x发生的概率，但x又有
，之前说过训练空间是独立同分布，因此
贝叶斯定理：，把条件概率分布带入贝叶斯公式中，可以得到：
。
通过这个贝叶斯定理，输入一个x，我们就可以计算在x的条件概率下y的概率。这是朴素贝叶斯分类算法的基本公式。
因此朴素贝叶斯分类器可以表示为：
1.2 朴素贝叶斯算法流程：
输入：训练数据，其中
，
输出：某个输入x的分类
- 计算先验概率和条件概率
，
- 输入的实例
，计算后验概率：
- 确定输入实例x的类，在输出y：
1.3 举例说明
例如有一个表格，输入是X()，输出是Y。
的取值有1,2,3，
的取值有S,M,L。求给一个输入x=(2,S)的输出标记类y的值。
1.3.1 计算步骤：
1.3.2 程序代码：
from sklearn.naive_bayes import GaussianNB
# x_1 取值1 ,2 ,3
# x_2 取值s，m ， l用4， 5， 6代替
X_train = [[1, 4], [1, 5], [1, 5], [1, 4], [1, 4], [2, 4], [2, 5], [2, 5], [2, 6], [2, 6],
[3, 6], [3, 5], [3, 5], [3, 6], [3, 6]]
y_train = [-1, -1, 1, 1, -1, -1, -1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, -1]
clf = GaussianNB()
clf.fit(X_train, y_train)
print(clf.predict([[2,4]]))
输出结果为-1，这和手动计算结果一致。
2. 贝叶斯估计
从上面，可以使用朴素贝叶斯完成分类，但是如果出现概率为0的情况时，会影响到后验概率计算的结果，产生偏差，所以引入贝叶斯估计算法，就是在原来的最小错误率贝叶斯的基础上增加一个参数和权重
。
条件概率的贝叶斯估计公式为：，可以看到，在随机变量各个取值的频数上加了一个正数
（
），
时就是极大似然估计，也是朴素贝叶斯，
时称为拉普拉斯平滑。
是每个输入的维度，例如上个例题中，X分为
的输入均是3维的，即
输入是
，所以
先验概率的贝叶斯估计公式为：，其中K是y的种类个数，如
，那么K=2。
2.1 算法流程：
输入：训练数据，其中
，
输出：某个输入x的分类
确定，
=3，K=2
- 计算先验概率和条件概率：
，
- 输入的实例
- 确定输入实例x的类，在输出y：
2.2 举例说明
同样是上一个例题问题，计算过程如下:
3 最小风险贝叶斯
在做决策的时候，我们往往不仅仅关心错误率是否最小。有时，我们更加关心某种决策带来的损失是否可以接受，以及接受的程度是多少。例如，在判断病人是否得传染病时，若把正常人判定为病人，那么患者就需要多承担费用。若把传染病人判定成正常人，那么会带来更多人感染的风险，损失将会是巨大的。
从这可以看出，引入风险后的贝叶斯是一种符合现实生活中的情景的。因此，需要事先做大量的调查，找到损失的分布，计算决策表。
引入风险函数，或者损失函数。假设x取，采用
作为当前风险。那么损失函数定义为：
。按照损失函数的形式求出一个矩阵，称之为决策表。把决策表中的损失和朴素贝叶斯求到的分类概率乘起来，得到条件风险。最后选择最小风险的方式，选出风险最小的分类。
3.1算法流程：
- 计算先验概率和条件概率
- 输入的实例
- 利用决策表计算后验风险：
- 选择最小风险，输出y:
3.2 案例说明
继续 以上面案例为例，通过朴素贝叶斯部分内容，得到
假设决策表如下：
| 1 | -1 | |
| 1 | 0 | 1 |
| -1 | 6 | 0 |
所以得到的后验风险为：
所以，根据最小风险，选择
作为最后的结果输出。
决策表是假设出来的，在现实生活中，决策表是通过大量的样本估计出来的。从决策表中可以看出，把1估计成-1的风险是1，把-1估计成1的风险则是6，因此把-1估计错误的风险代价要大得多。
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2020-6-18更新了最小风险贝叶斯部分内容。