3.2 向量空间

在1900年初，向量空间（Vector Spaces）概念作为适用于线性对象的概念就已经被提出，这一节我们将讨论它。

Note：向量空间不仅仅是一个代数的内容，也可以使用几何来解释。

下面是向量空间的定义：

对于一个区域 $K$ (可以在其中进行加法和乘法的运算)，那么区域 $K$ 的向量空间（ $K$-vector space）和集合 $E$ （满足vector addition： $E \times E \rarr E$ 以及scalar multiplication $K \times E \rarr E$）需要同时满足以下条件（缺一不可），其中对于所有的 $\alpha , \beta \in K$ 、 $u,v \in E$

• $E$ 关于 $E \times E \rarr E$ 是一个abelian group，这里包括元素0（这里是广义的零，即向量 $0$ 或者标量 $0$ ）

  note：(copy from baidu baike) abelian group也就是阿贝尔群，它由其自身的集合和二元运算构成。它除了满足一般的群（group）公理，即运算的结合律、有单位元、所有的元素都有逆元之外，还满足交换律公理。因为阿贝尔群的群运算满足交换律和结合律，群元素乘积的值与乘法运算时的次序无关。

• $\alpha \cdot(u + v) = \alpha \cdot u + \alpha \cdot v$

• $(\alpha + \beta) \cdot u = \alpha \cdot u + \beta \cdot u$

• $(\alpha * \beta)\cdot u= \alpha \cdot (\beta \cdot u)$ ，其中 $*$ 在区域 $K$ 中进行运算

• $1 \cdot u =u$

我们可以从第一个看出向量空间绝不会是空集，从第二个可以得到结论 $\alpha \cdot 0 = 0$ 和 $\alpha \cdot (-v) = -(\alpha \cdot v)$ ，从第三个我们可以得到 $0 \cdot v = 0$ 以及 $(-\alpha) \cdot v = -(\alpha \cdot v)$。

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下面我们都在实数域 $\R$ 中讨论区域 $K$ 的向量空间

命题 3.1 对于任意的 $u \in E$ 、 $\lambda \in K$ ，如果 $\lambda \ne 0$ 且 $\lambda \cdot u =0$ ，那么有 $u=0$

看起来显而易见，下面是严谨的证明：

因为 $\lambda \ne 0$ ，所以必存在其逆 $\lambda ^{-1}$ ，对于等式 $\lambda \cdot u =0$ 有
$\lambda ^{-1} \cdot (\lambda \cdot u)=\lambda ^{-1} \cdot0 = 0$
根据上面向量空间的定义中的条件
$\lambda ^{-1} \cdot (\lambda \cdot u)=(\lambda ^{-1} \lambda) \cdot u = 1 \cdot u = u$
所以可以得到 $u=0$

接下来是有关向量空间的6个推理（其实很好理解，可以结合上面的定义直接推导得到）：

1. 实数集 $\R$ 和复数集 $C$ 是实数集 $\R$ 上的向量空间。

2. $\R^n$ 和 $C^n$ 都是 $\R$ 上的向量空间，对于任意的 $\lambda \in \R$ 以及 $(x_1,...,x_n) \in \R^n$ 或 $(x_1,...,x_n) \in C^n$ 均有（除非 $\lambda \in C$）
   $\lambda (x_1,...,x_n) = (\lambda x_1,...,\lambda x_n)$

3. 实数域 $\R$ 上的多项式是 $\R$ 上的向量空间 ，同理复数域 $C$ 上存在实系数的多项式是 $C$ 上的向量空间，并且两者均在标量乘法中也满足。

4. 在 $\R$ 上的矩阵 $M \in R^{m \times n}$ 也是 $\R$ 上的向量空间。

5. 在复数集 $C$ ，区间 $(a,b)$ 内的函数 $f:(a,b) \rarr \R$ 是实数集 $\R$ 上的向量空间，对于标量乘法也有以下的公式：
   $(\lambda f)(x)=\lambda f(x), \quad for \ all \ x \in (a,b)$
   其中 $\lambda \in \R$ 且 $f:(a,b) \rarr \R$

6. 定义 $X$ 为一个非空集合， $E$ 是一个向量空间。一系列的函数 $f:X \rarr E$ 可以生成一个向量空间，即给定任意两个函数 $f:X \rarr E$ 和 $g:X \rarr E$ ， $(f+g):X \rarr E$ 就可以定义为
   $\lambda (f+g)(x) = \lambda f(x)+ \lambda g(x)$
   其中 $\lambda \in \R$ 且 $x \in X$ 。

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