什么是动态规划?
动态规划(Dynamic Programming)是一种分阶段求解决策问题的数学思想,它通过把原问题分解为简单的子问题来解决复杂问题.动态规划在很多领域都有着广泛的应用,例如管理学,经济学,数学,生物学.
动态规划适用于解决带有最优子结构和子问题重叠性质的问题.
最优子结构: 即是局部最优解能够决定全局最优解(也可以认为是问题可以被分解为子问题来解决),如果问题的最优解所包含的子问题的解也是最优的，我们就称该问题具有最优子结构性质.
子问题重叠: 即是当使用递归进行自顶向下的求解时,每次产生的子问题不总是新的问题,而是已经被重复计算过的问题.动态规划利用了这种性质,使用一个集合将已经计算过的结果放入其中,当再次遇见重复的问题时,只需要从集合中取出对应的结果.
动态规划与分治算法的区别
相信了解过分治算法的同学会发现,动态规划与分治算法很相似,下面我们例举出一些它们的相同之处与不同之处.
相同点
- 分治算法与动态规划都是将一个复杂问题分解为简单的子问题.
- 分治算法与动态规划都只能解决带有
最优子结构性质的问题.
不同点
- 分治算法一般都是使用递归自顶向下实现,动态规划使用迭代自底向上实现或带有记忆功能的递归实现.
- 动态规划解决带有
子问题重叠性质的问题效率更加高效.
- 分治算法分解的子问题是相对独立的.
- 动态规划分解的子问题是互相带有关联且有重叠的.
斐波那契数列
斐波那契数列就很适合使用动态规划来求解,它在数学上是使用递归来定义的,公式为F(n) = F(n-1) + F(n-2).
斐波那契数列求解过程
普通递归实现
一个最简单的实现如下.
public int fibonacci(int n) {
if (n < 1)
return 0;
if (n == 1)
return 1;
if (n == 2)
return 2;
return fibonacci(n - 1) + fibonacci(n - 2);
}
但这种算法并不高效,它做了很多重复计算,它的时间复杂度为O(2^n).
动态规划递归实现
使用动态规划来将重复计算的结果具有"记忆性",就可以将时间复杂度降低为O(n).
public int fibonacci(int n) {
if (n < 1)
return 0;
if (n == 1)
return 1;
if (n == 2)
return 2;
// 判断当前n的结果是否已经被计算,如果map存在n则代表该结果已经计算过了
if (map.containsKey(n))
return map.get(n);
int value = fibonacci(n - 1) + fibonacci(n - 2);
map.put(n, value);
return value;
}
虽然降低了时间复杂度,但需要维护一个集合用于存放计算结果,导致空间复杂度提升了.
动态规划迭代实现
通过观察斐波那契数列的规律,发现n只依赖于前2种状态,所以我们可以自底向上地迭代实现.
public int fibonacci(int n) {
if (n < 1)
return 0;
if (n == 1)
return 1;
if (n == 2)
return 2;
// 使用变量a,b来保存上次迭代和上上次迭代的结果
int a = 1;
int b = 2;
int temp = 0;
for (int i = 3; i <= n; i++) {
temp = a + b;
a = b;
b = temp;
}
return temp;
}
这样不仅时间复杂度得到了优化,也不需要额外的空间复杂度.