信噪比、奈奎斯特采样定理、香浓定理定理与信噪比之间的关系的探讨

1 采样定理

1.1 奈奎斯特采样¹

问：LTE中为什么使用30.72MHz的采样率去采样实际带宽为18MHz的信号？是否满足于“奈奎斯特采样定理”？
满足。

    下图给出了白噪声信号的功率谱示意图，观察到带宽为W的白噪声在频谱图上占据了2W的宽度。

由于实信号具有共轭对称的频谱，从信息的角度来看，其负频谱部分是冗余的，将实信号的负频谱部分去掉，只保留正频谱部分的信号，其频谱不存在共轭对称性，所对应的时域信号应为复信号。复数信号处理的好处有：对于数字通信，在基带处理带通信号，可以使有效带宽减少一半，进而对于AD 的采样率要求，FFT的处理能力等都有改善。

    解析信号的实部和虚部是正交的，是希尔伯特变换对，实部就是原信号或者说是实际存在的信号。由此我们可以利用希尔伯特变换得到解析信号。在雷达信号中，对于中频信号需要变换成零中频的复信号，称为视频信号（不一定解析，但是实部和虚部是正交的），有正交变换法，希尔伯特变换法，多相滤波法，插值法等多种方法，可以根据具体要求选取适当的方法。这些方法在雷达原理、软件无线电、通信理论等书籍和文献中都能找到很多。用复信号表示信号，构造解析信号减少一半频带是一个优点；用来表示实信号时，运算简便也是一个很重要的优点。²
另外，实际表示复数变量使用实部和虚部两个分量。复信号也一样，必须用实部和虚部两路信号来表示它，两路信号传输会带来麻烦，实际信号的传输总是用实信号，而在信号处理中则用复信号。³

    信号处理引入复信号的原因只是一个——方便数学处理。实际信号不存在复信号，只存在实信号，将复信号按照数学规律叠加即可 得到实信号。
问：信号处理为什么引入复信号？⁴
对复数信号进行采样需要同时进行I、Q两路采样，但是这两路采样是相关的（相位相差pi/2），其中I路信号对应复信号的实部，即实际信号，Q信号对应复信号的虚部，引入Q信号即可进行复数计算处理。

    复数信号与实数信号的关系如下：
$cos kwt = (exp(jkwt)+exp(-jkwt))/2 ;$
$sin kwt = (exp(jkwt)-exp(-jkwt))/2j ;$
a*cos kwt与b*sin kwt对应的exp(jkwt)与exp（-jkwt）的系数分别为(a/2+b/2j)、（a/2-b/2j），因此复信号的幅相系数是双边频谱（共轭对称）。复信号80M的带宽，对应的实际信号带宽只有40M。而且，要从复信号的频谱中提取实际信号的频谱（幅相），也需要进行一定的计算转换。对复信号进行采样需要满足 Fs>B，而对实信号进行采样需要满足Fs>2Fmax。(这个说法不太准确)
问：对I、Q信号两路进行采样，是不是采样一次相当于采样两次？
答：并非如此，I、Q信号是相参的，采样了I信号即能计算出相应的Q信号。但是这是建立在I路采样充分的基础上的（即Fs>2*Fmax），如果I路采样不充分，那么Q路的采样信号可以补充这种采样不充分。（那么，I、Q路同时采样只需要Fs>Fmax，就可以了吗？这一点需要进一步分析）

1.2 SNR与EbN0与香浓极限的推导

这一小节探讨香浓极限的计算过程。第一步给出香浓极限的结论。

    信道容量为：
$C=\frac{1}{2} \log _{2}\left(1+\frac{S}{N}\right)$
由于信道的带宽为 B，所以如果要信号带宽也在 B 以内，则根据乃奎斯特采样定理，采样率必须满足：
$F_{s} \leq 2 B$
所以单位时间内的信道容量为：
$C_{t}=2 B C=B \log _{2}\left(1+\frac{S}{N}\right)$
对于AWGN信道，先推导出S/N与Eb/N0之间的关系：
$\frac{S}{N}=\frac{\frac{E_{b}}{T_{b}}}{\frac{N_{0}}{2} \cdot 2 B}=\frac{E_{b}}{N_{0}} \cdot \frac{R_{b}}{B}$
带入得到：
$\frac{C}{B}=\log _{2}\left(1+\frac{E_{b}}{N_{0}} \cdot \frac{R_{b}}{B}\right)$
上图中的 $R_b$可以表示成为 $R_b = fs*CodeRate*Mode$。假定 $R = CodeRate*Mode$，那么有如下结果：
$\frac{S}{N}=2 R \frac{E_{b}}{N_{0}}$
因此我们知道AWGN波形信道容量为：
$\begin{aligned} C &=\frac{1}{2} \log _{2}\left(1+\frac{S}{N}\right) \\ &=\log _{2}\left(1+\frac{2 R E_{b}}{N_{0}}\right) \end{aligned}$
如果C=R为常数，只需要求解上述方程，可得：
$\frac{E_{b}}{N_{0}}=\frac{2^{2 R}-1}{2 R}$
这个结论与通信之美中的结论是一致的。这个结论满足于没有调制只有编码的条件下，但是明显有个问题就是不满足信噪比之间的转换关系（EsN0于EbN0之间的关系）。究竟是哪里出了问题？

IMPORTANT

有前辈曾对我说BPSK调制有3dB的增益，然而BPSK其实相当于只有编码没有调制。如果加上3dB的增益，那么符合这里的结果。
对于纯编码，R代表码率。这里传输的实际上是实数信号，（fs=2B）所以信噪比的关系如此。
$\frac{E_{b}}{N_{0}}=\frac{2^{2 R}-1}{2 R}$
$\frac{S}{N}=2 R \frac{E_{b}}{N_{0}}$
对于QPSK或者其他高阶的调制来说，有如下结论。这里传输的实际上是复数信号(fs = B)，所以信噪比的关系是这样。而在通信链路中，均采用这样的方式去计算EbN0与EsN0之间的关系。
$\frac{E_{b}}{N_{0}}=\frac{2^{R}-1}{R}$
$\frac{S}{N}=R \frac{E_{b}}{N_{0}}$
其中$R = CodeRate*Mode $。
由此，我们便得到了香浓极限的计算方法。

2 证明过程⁵

3 仿真结果

3.1 初步结果论证

仿真基于下面的代码。

% EsN0 = -5.50 , EbN0 = -0.73 , error = 25889 , NumBit = 102400 ,pe = 2.528223e-01
% EsN0 = -5.00 , EbN0 = -0.23 , error = 22104 , NumBit = 102400 ,pe = 2.158594e-01
% EsN0 = -4.50 , EbN0 = 0.27 , error = 11904 , NumBit = 102400 ,pe = 1.162500e-01
% EsN0 = -4.00 , EbN0 = 0.77 , error =  719 , NumBit = 102400 ,pe = 7.021484e-03
% EsN0 = -3.50 , EbN0 = 1.27 , error =    0 , NumBit = 1024000 ,pe = 0
% EsN0 = -3.00 , EbN0 = 1.77 , error =    0 , NumBit = 1024000 ,pe = 0
% EsN0 = -2.50 , EbN0 = 2.27 , error =    0 , NumBit = 1024000 ,pe = 0
% EsN0 = -2.00 , EbN0 = 2.77 , error =    0 , NumBit = 1024000 ,pe = 0

仿真结果表明，在AWGN 信道下，码率为1/2 的Turbo 码在达到误比特率（BER) ≤ 10−5时，Eb/N0仅为约0.7dB （这种情况下达到信道容量的理想Eb/N0值为0db），远远超过了其他的编码方式，一时在信息和编码理论界引起了轰动。⁶

    这里结果与我们的仿真结果是很接近的，有理由相信计算方式是正确的。

3.2 进一步结果论证

4 示例代码

下面代码提供turbo编解码模版，未添加符号匹配和调制等内容。

clear
close all
rng('default')

%% 系统参数
SlotBitLen  = 1024;
EsN0_dBlist = [-3.5:0.5:0]-2;
% EsN0_dBlist = 100 ;
CodeRate = 1/3;     % 码率
EbN0 = EsN0_dBlist - 10*log10( 1  * CodeRate)  ;      % 类似于BPSK调制必须有3dB的相差
Ns = 4;
sr = 8e6;
fs = Ns*sr;
M = 1;

%% 编码参数
nloop_up   = 1e3;
nloop_down = 1e2;
error_up   = 200;
[f1, f2]     = getf1f2(SlotBitLen);
InterTbl    = zeros(1,SlotBitLen);
for ii = 0:SlotBitLen-1
    InterTbl(ii+1) = mod(f1*ii+f2*ii^2,SlotBitLen);
end
hTEnc           = comm.TurboEncoder(poly2trellis(4, [13 15], 13), InterTbl + 1);                          % 简化方式
hTDec           = comm.TurboDecoder(poly2trellis(4, [13 15], 13), InterTbl + 1, 10,'Algorithm','Max');    % 简化方式

%%
tic;
for EsN0_index = 1:length(EsN0_dBlist)
    %% 统计
    errcod = 0;     errmod = 0;
    lencod = 0;     lenmod = 0;
    expnumber = 0;
    EsN0 = EsN0_dBlist(EsN0_index);
    snr  = EsN0 - 10*log10(Ns);
    while( (errcod <error_up)&&(expnumber<nloop_up)||(expnumber<nloop_down) ) 
        expnumber = expnumber + 1;
        % 生成 bit
        TCSrc           = randi([0 1],1,SlotBitLen);
        % 编码
        TurboCodeOut    = step(hTEnc, TCSrc.').';
        ModeBitIn = TurboCodeOut;
        Tx = 1-ModeBitIn*2;
        Tx = Tx.*(1+1j)/sqrt(2);
        % 加噪
%         Rx = Tx + wgn(1,length(Tx),-EsN0);
         Rx  = awgn(Tx,EsN0,'measured');
        TCDecSoftInfo = imag(Rx)+real(Rx);
        % 解码
        TCDDecOut      = step(hTDec, -TCDecSoftInfo.').';
        % 统计误码
        errcod = errcod + biterr(TCSrc,TCDDecOut);
        errmod = errmod + biterr(TCDecSoftInfo>0,TurboCodeOut);
        lencod = lencod + SlotBitLen;
        lenmod = lenmod + length(TurboCodeOut);
    end
    fprintf('%% EsN0 = %4.2f , EbN0 = %4.2f , error = %4.0f , NumBit = %4.0f ,pe = %d\n',...
        EsN0 ,EbN0(EsN0_index), errcod ,lencod, errcod/lencod);
    err_rate_cod(EsN0_index ) =  errcod/lencod;     % 统计解码误码率
    err_rate_mod(EsN0_index ) =  1-errmod/lenmod;     % 统计解调误码率
end
toc