Python实现相空间重构求关联维数——GP算法、自相关法求时间延迟tau、最近邻算法求嵌入维数m

GP算法：

若有一维时间序列为{x1,x2,…,xn},对其进行相空间重构得到高维相空间的一系列向量：

$x_i(\tau ,m)=\left(x_i,x_{i1},\cdots ,x_{i+{(m-1)}_{\tau }}\right)$

式中：$\tau$为时间延迟，$\tau$=k$\mathrm{\Delta }t$，其中k为整数，为采样时间间隔；m为嵌入维数；i=1，2，⋯，N；N为重构后向量的个数，$N=n-(m-1)\tau$。
重构相空间关联维数为：

$D_2=\underset{r\to 0}{\lim }\frac{\ln c_r}{\ln r}$

$c_r=\frac{1}{N^2}$$\sum \sum H$$\left(r-||x_j-x_k||\right)$

式中：j≠k；r为m维超球半径；H为Heaviside函数。

def GP(imf,tau):            #GP算法求关联维数
    N=2000
    if (len(imf) != N):
        print('请输入指定的数据长度！')   # N为指定数据长度
        return
    elif (isinstance(imf, np.ndarray) != True):
        print('数据格式错误！')
        return
    else:
        m_max=10                  #最大嵌入维数
        ss=50                     #r的步长
        fig=plt.figure()
        for m in range(1,m_max+1):
            i_num = N - (m - 1) * tau
            kj_m = np.zeros((i_num, m))  # m维重构相空间
            for i in range(i_num):
                for j in range(m):
                    kj_m[i][j] = imf[i + j * tau]
            dist_min, dist_max = np.linalg.norm(kj_m[0] - kj_m[1]), np.linalg.norm(kj_m[0] - kj_m[1])
            Dist_m = np.zeros((i_num, i_num))  # 两向量之间的距离
            for i in range(i_num):
                for k in range(i_num):
                    D= np.linalg.norm(kj_m[i] - kj_m[k])
                    if(D>dist_max):
                        dist_max=D
                    elif(D>0 and D<dist_min):
                        dist_min=D
                    Dist_m[i][k] = D
            dr=(dist_max-dist_min)/(ss-1)           #r的间距
            r_m=[]
            Cr_m=[]
            for r_index in range(ss):
                r=dist_min+r_index*dr
                r_m.append(r)
                Temp=np.heaviside(r-Dist_m,1)
                for i in range(i_num):
                    Temp[i][i]=0
                Cr_m.append(np.sum(Temp))
            r_m=np.log(np.array((r_m)))
            Cr_m=np.log(np.array((Cr_m))/(i_num*(i_num-1)))
            plt.plot(r_m,Cr_m)
        plt.show()

自相关法确定$\tau$：

计算时间序列{x1,x2,…,xn}的自相关函数：

$R(j\tau )=\frac{1}{N}\sum$$x(i)x(i+j\tau )$

当自相关函数值下降到初始函数值的1-${\mathrm{e}}^{-1}$时。所对应的$\tau$即为时间延迟参数。

# 计算GP算法的时间延迟参数（自相关法）
def get_tau(imf):
    N=2000
    if (len(imf) != N):
        print('请输入指定的数据长度！')  # N为指定数据长度
        return 0
    elif (isinstance(imf, np.ndarray) != True):
        print('数据格式错误！')
        return 0
    else:
        j = 1  # j为固定值
        tau_max = 20
        Rall = np.zeros(tau_max)
        for tau in range(tau_max):
            R = 0
            for i in range(N - j * tau):
                R += imf[i] * imf[i + j * tau]
            Rall[tau] = R / (N - j * tau)
        for tau in range(tau_max):
            if Rall[tau] < (Rall[0] * 0.6321):
                break
        return tau

假近邻算法确定m

对m维相空间每一个向量$X_{i(m)}=\left\{x_i,x_{i+\tau },\cdots ,x_{i+(m-1)\tau }\right\}$,i=1,2,…,N,N为向量总数，找出它的最近向量$X_{j(m)}$，计算两者欧氏距离$R_m(i)=||X_{i(m)}-X_{j(m)}||$，它们在m+1维空间的距离为：

$R_{m+1}(i)=||X_{i(m+1)}-X_{j(m+1)}||$

如果$R_{m+1}(i)$>>$R_m(i)$,则为虚假近邻点，定义比值：

$R(i)=$$\sqrt{\frac{{\left[R_{m+1}(i)\right]}^2-{\left[R_m(i)\right]}^2}{{\left[R_m(i)\right]}^2}}$

若$R(i)>R_0$,则称$X_j$为$X_i$的假近邻点，$R_0$为阈值通常取大于10.计算该m下虚假近邻点占点比例，直到虚假近邻点百分比很小或不随m增大而减少时，此时的m即为所需嵌入维数。

#计算GP算法的嵌入维数(假近邻算法)
def get_m(imf, tau):
    N=2000
    if (len(imf) != N):
        print('请输入指定的数据长度！')  # N为指定数据长度
        return 0, 0
    elif (isinstance(imf, np.ndarray) != True):
        print('数据格式错误！')
        return 0, 0
    else:
        m_max = 10
        P_m_all = []  # m_max-1个假近邻点百分率
        for m in range(1, m_max + 1):
            i_num = N - (m - 1) * tau
            kj_m = np.zeros((i_num, m))  # m维重构相空间
            for i in range(i_num):
                for j in range(m):
                    kj_m[i][j] = imf[i + j * tau]
            if (m > 1):
                index = np.argsort(Dist_m)
                a_m = 0  # 最近邻点数
                for i in range(i_num):
                    temp = 0
                    for h in range(i_num):
                        temp = index[i][h]
                        if (Dist_m[i][temp] > 0):
                            break
                    D = np.linalg.norm(kj_m[i] - kj_m[temp])
                    D = np.sqrt((D * D) / (Dist_m[i][temp] * Dist_m[i][temp]) - 1)
                    if (D > 10):
                        a_m += 1
                P_m_all.append(a_m / i_num)
            i_num_m = i_num - tau
            Dist_m = np.zeros((i_num_m, i_num_m))  # 两向量之间的距离
            for i in range(i_num_m):
                for k in range(i_num_m):
                    Dist_m[i][k] = np.linalg.norm(kj_m[i] - kj_m[k])
        P_m_all = np.array(P_m_all)
        m_all = np.arange(1, m_max)
        return m_all, P_m_all

三连、三连、三连