1. 题目

一个正三角形平面，边长为1，在三个角的部分减去一个四边形，然后沿着剪开部分折叠起来，该怎么剪，才能使折叠后的三棱台体积最大。

2. Python求解

使用geatpy库求解：

MyProblem2.py :

# -*- coding: utf-8 -*-
import numpy as np
import geatpy as ea


class MyProblem(ea.Problem):  # 继承Problem父类
    def tan(self, data):  # data为传入的度数
        return np.tan(data / 180 * np.pi)

    def cos(self, data):
        return np.cos(data / 180 * np.pi)

    def sin(self, data):
        return np.sin(data / 180 * np.pi)

    def __init__(self):
        name = 'MyProblem'  # 初始化name（函数名称，可以随意设置）
        M = 1  # 初始化M（目标维数）
        maxormins = [-1]  # 初始化maxormins（目标最小最大化标记列表，1：最小化该目标；-1：最大化该目标）
        Dim = 2  # 初始化Dim（决策变量维数）
        varTypes = [0, 1]  # 初始化varTypes（决策变量的类型，元素为0表示对应的变量是连续的；1表示是离散的）
        lb = [0, 0, ]  # 决策变量下界
        ub = [np.sqrt(3) / 3, 60, ]  # 决策变量上界
        lbin = [1, 1, ]  # 决策变量下边界（0表示不包含该变量的下边界，1表示包含）
        ubin = [1, 1, ]  # 决策变量上边界（0表示不包含该变量的上边界，1表示包含）
        # 调用父类构造方法完成实例化
        ea.Problem.__init__(self, name, M, maxormins, Dim, varTypes, lb, ub, lbin, ubin)

    def s1(self, a):
        return np.sqrt(3) / 4 * np.square(1 - np.sqrt(3) * a)
        # return np.sqrt(3) / 4 * np.square(1 - np.sqrt(3) * a + a / self.tan(30 + alpha))

    def s2(self, a, alpha):
        return np.sqrt(3) / 4 * np.square((1 - a * np.sqrt(3)) + self.tan(60 - alpha) * a)
        # return np.sqrt(3) / 4 * np.square(1 - np.sqrt(3) * a)

    def length_1(self, a):  # 底面小的三角形
        return 1 - np.sqrt(3) * a

    def length_2(self, a, alpha):  # 上面大的三角形
        return (1 - np.sqrt(3) * a) + self.tan(60 - alpha) * a

    def edge_length(self, a, alpha):  # 中位线构成的截面的斜边长度
        return a / (2 * self.cos(60 - alpha))

    def h(self, a, alpha):
        # one_of_length = 2 * np.sqrt(3) * (self.length_2(a, alpha) - self.length_1(a)) / 3
        one_of_length = np.sqrt(3) * (self.length_2(a, alpha) - self.length_1(a)) / 3
        square_h = np.square(self.edge_length(a, alpha)) - np.square(one_of_length)
        return np.sqrt(square_h)

    def aimFunc(self, pop):  # 目标函数
        Vars = pop.Phen  # 得到决策变量矩阵
        a = Vars[:, [0]]
        alpha = Vars[:, [1]]

        pop.ObjV = (1 / 3) * self.h(a, alpha) * (self.s1(a) + np.sqrt(
            self.s1(a) * self.s2(a, alpha)) + self.s2(a, alpha))  # 计算目标函数值，赋值给pop种群对象的ObjV属性
        # 采用可行性法则处理约束
        pop.CV = np.hstack([
            -self.s1(a),
            -self.s2(a, alpha),
            -self.h(a, alpha),
            self.length_1(a) - self.length_2(a, alpha),  # l1<l2
        ])

Maincode.py

# -*- coding: utf-8 -*-
import geatpy as ea  # import geatpy
# from MyProblem import MyProblem  # 导入自定义问题接口
from MyProblem2 import MyProblem

if __name__ == '__main__':
    """================================实例化问题对象==========================="""
    problem = MyProblem()  # 生成问题对象
    """==================================种群设置=============================="""
    Encoding = 'RI'  # 编码方式
    NIND = 300  # 种群规模
    Field = ea.crtfld(Encoding, problem.varTypes, problem.ranges, problem.borders)  # 创建区域描述器
    population = ea.Population(Encoding, Field, NIND)  # 实例化种群对象（此时种群还没被初始化，仅仅是完成种群对象的实例化）
    """================================算法参数设置============================="""
    # myAlgorithm = ea.soea_DE_rand_1_bin_templet(problem, population)  # 实例化一个算法模板对象
    myAlgorithm = ea.soea_DE_targetToBest_1_bin_templet(problem, population)  # 实例化一个算法模板对象
    myAlgorithm.MAXGEN = 200  # 最大进化代数
    myAlgorithm.mutOper.F = 0.5  # 差分进化中的参数F
    myAlgorithm.recOper.XOVR = 0.7  # 重组概率
    myAlgorithm.logTras = 1  # 设置每隔多少代记录日志，若设置成0则表示不记录日志
    myAlgorithm.verbose = True  # 设置是否打印输出日志信息
    myAlgorithm.drawing = 1  # 设置绘图方式（0：不绘图；1：绘制结果图；2：绘制目标空间过程动画；3：绘制决策空间过程动画）
    """===========================调用算法模板进行种群进化========================"""
    [BestIndi, population] = myAlgorithm.run()  # 执行算法模板，得到最优个体以及最后一代种群
    BestIndi.save()  # 把最优个体的信息保存到文件中
    """==================================输出结果=============================="""
    print('评价次数：%s' % myAlgorithm.evalsNum)
    print('时间已过 %s 秒' % myAlgorithm.passTime)
    if BestIndi.sizes != 0:
        print('最优的目标函数值为：%s' % BestIndi.ObjV[0][0])
        print('最优的控制变量值为：')
        for i in range(BestIndi.Phen.shape[1]):
            print(BestIndi.Phen[0, i])
    else:
        print('没找到可行解。')

最后的求解结果：

3. 作业纸上的描述

放大的效果图：
设的那个角度 alpha就是绿色的角