为什么要把一个函数分解成三角函数？(傅利叶级数)

笔记来源：【知识拼图】傅里叶变换从零到一 02集 傅里叶级数从起源到操作，真的很细

把一个函数分解成三角级数体现了化繁为简，一个复杂函数化成许多三角函数的叠加
先回顾一下向量的分解
若以两个非正交向量为基底，则一个向量分解完后的量相互之间还存在着投影
一个向量可以通过分解+线性叠加表示

若以两个正交向量为基底，则一个向量分解完后的量相互之间就不存在投影了，对向量的分解十分简洁方便

若两个向量垂直，则代数上表现为内积等于零

我们为什么不能利用一下正交性呢，把一个函数分解到以三角函数的基底上，若这些三角函数有正交性，那这个函数分解后一定很简洁，则一个函数可以通过分解为正交函数的线性叠加。
若两个函数正交，则两函数内积为零，则二者内积的积分也为零

若将互相正交函数作为基底，将一个函数分解到这些基底上，不仅形式简洁，而且可以充分利用正交函数内积的积分为零这个性质进行其他运算。
将函数$h(x)$分解到基底为$\cos 2x$和$\sin 5x$的三角函数上，$h(x)$在基底$\cos 2x$上的投影为2，$h(x)$在基底$\sin 5x$上的投影为3，在其他基底上的投影为0，各个基底上的投影线性叠加就组合成了原函数。

利用三角函数的正交性



傅利叶级数三角函数基中只有自己和自己内积才不为零
三角函数基中所有三角函数周期的最小公倍数为$2\pi$，取一个周期$[-\pi ,\pi ]$

函数如何展开成傅利叶级数？求系数
求$a_n，b_n$

求$a_0$

如何操作从时域到频域？
下图来源：傅里叶分析之掐死教程（完整版）更新于2014.06.06

将$f(t)$展开为傅利叶级数，下式中既有正弦又有余弦，频谱图不好画，可以用辅助角公式，统一为同一种三角函数（正余弦只是有相位差而已），统计各个成分的相位和角频率得到频谱图