【江西省研究生数学建模竞赛】题目之一 蒸汽发生器倒U型管内液体流动

1 题目

2023年江西省研究生数学建模竞赛题目之一

荧汽发生器倒U型管内液体流动

PACTEL压水堆整体测试设备在2009年建造，用于带有垂直倒U型管莱汽发生器的压水堆热液压相关的安全性研究，参见图1。

PACTEL压水堆设施包括一个反应堆压力容器模型、两个带有蒸汽发生器的回路、一个连接到一个回路的稳压器和应急堆芯冷却系统。压力容器为U型管结构，代表降液管、下增压室、芯体和上和气室。PACTEL压水堆设备内的蒸汽发生器U型管束包含51根倒U型管，排成10行。表1列出了每一行的U型管的管数N、高度H、管长l和弯管半径r。U 型管的内径和外径分别为D = 16.57mm和$D_i$= 19.05mm。

通过自然循环，冷却剂从每根倒U型管道的一侧流动到另一侧，把核反应装置中的非能动余热排出，从而提升反应堆固有安全性能。蒜汽发生器倒U型管内可能存在负的进出口压降，从而诱发冷却剂倒流现象，导致系统内部的冷却剂流量低于设计值，严重影响一回路冷却剂系统的热量输运，给反应推的运行安全带来极大挑战。对倒U型管倒流现象进行分析，研究蒸汽发生器并联倒U型管间的流量分配特性，评估自然循环条件下蒸汽发生器的流动不稳定性，对反应堆的运行安全性能具有重要意义。

把倒U型管流入一侧称为一次侧，流出一侧称为二次侧。当管道内流量非常小时，二次侧可能发生倒流现象。由于U型管道为细长形，相关物理量仅和管线$s(0\le s\le l)$方向有关。为了进一步简化，假设U型管内流体速度v量定。

问题1，对一根U型管中的液体流动建立模型，研究液体的温度T、密度$\rho$对管线s的依赖。

问题2; 研究 一根U型管的进出口压差$\Delta p$如何依赖管内流体速度w，进而分析形成液体倒流的原因。请画出$\Delta p$和v之问关系的一条曲线。当$\Delta p$大于某个临界值 （最小压差） ，管内液体向前流动，称之为正流管; 否则，管内液体倒流，称之为倒流管。根据表1中的数据，计算每种类型的U型备，计算最小压关，并填入表1中的最后一列中。

问题3，以PWR PACTRT 模型下的蒸汽发生器为计算对象。10 组倒U 型管的管长依次增加（见表1) ，第i组倒U型管数基为$N_i$根。在进行并联倒U型管流最分配计算时，假设并联倒U型管进出口压力相同，所有正流管进口温度相同。蒸汽发生器内部的进出口压降和系统压力相比非常小，实际中难以测量，所以将进出口压降视为未知量。系统内自然循环的流量低，很难准确测出流量的准确值，因此将一次侧进口流量也视为未知量。蒸汽发生器是一二次侧热量交换的场所，忽略一次侧通道中热基在沿程传递时的损失，单位时间内通过倒U型管传递到二次侧的热量约等于反应堆在单位时间内发出的热量，即反应堆功率P。

（1） 请给出算法计算给定反应推功率下每个管道的流动情况。

（2）通过表1中的数据，计算分析U型管内倒流管占的比例，并研究这些倒流管和它的管长之间的关系。

（3）分析哪些途径可以减少倒流现象。

问题4; 请对U型管中的液体流动模型进行改进，重新探讨上述3个问题。

2 建模思路

2.1 问题一

要建立液体流动模型可以采用连续性方程和动量守恒方程。其中连续性方程描述了流体流动的质量守恒，动量守恒方程描述了流体流动的动量守恒。通过这两个方程可以计算出流体的速度、温度和密度等基本参数。

2.2 问题二

（1）画$\Delta p$与流体速度v之间的关系简化模型

由于管道中流量非常小时，可以假设U型管内的流体速度v量定。考虑U型管水平放置时的液体高度$h$、液体密度$\rho$和加速度$g$，并根据质量守恒定理和伯努利方程求解出液体在管道内的流动速度$v$。

（2）分析液体倒流的原因

要通过建立简化的液体动力学模型，分析U型管的进出口压差和流体速度之问的关系，描绘出这种关系的曲线，并结合液体动力学原理，分析液体倒流的原因。

当进出口压差小于某个临界值（最小压差）时，管内液体倒流。这个最小压差具体是多少，需要先计算出来，然后填入表1中最后一列。对于倒流管和正流管，这个最小压差是不同的。液体倒流的原因要从液体动力学入手。一般而言，当管道中液体的流速下降到低于某个特定阈值时，由于粘滞力等因素的影响，容易使得倒弯处的管壁出现液体附着现象，从而出现回流现象。对于倒U型管，这种回流现象会导致液体从二次侧流入一次侧。因此，要减少液体倒流，可以从两方面入手：一是增加管子弯曲的半径，二是增加液体的流速。对于这两方面，可以优化倒U型管的设计，增加其防倒流的能力。不同的设计方案可能会对液体的流动速度、阻力、压降、热传递等产生影响，要综合考虑各种因素。

2.3 问题三

（1） 计算给定反应推功率下每个管道的流动情况。

考虑使用数值模拟的方法计算每个管道的流动情况，可以采用计算流体力学（CFD）方法。具体步骤如下：

1.构建几何体模型：将蒸汽发生器的几何体进行建模，包括倒U型管（长、高、宽、内径等），管道（长度、宽度等）和进出口（口径、位置等）等内容。

2.经验公式的输入：将表1中的管道数据和反应堆功率P输入数值模拟软件。

3.边界条件讨论：确定每个物理量的边界条件，包括进出口流量、进口温度、压降等等。

4.模型求解：使用CFD方法对蒸汽发生器进行求解，得到每个管道内部的流速、流量和压力等物理量。

5.分析结果：根据结果分析每个管道的流动情况和是否满足设计要求，如果不满足设计要求，可以对模型进行修改，并重新进行数值模拟。

（2）计算分析U型管内倒流管占的比例，并研究这些倒流管和它的管长之间的关系

第一步：计算U型管内倒流管所占的比例：

通过进行数值模拟，计算出每个倒U型管内部的液体流动情况。根据流量、压力等物理量的分布情况，对流动方向进行分析，统计出每个倒U型管内倒流管的数量，并计算出倒流管所占的比例。

第二步：研究倒流管和管长之间的关系：

对于每个倒U型管，根据表1中的数据，分别计算出管长$L_i$和倒流管数量$N_{back,i}$，并将数据进行可视化处理，得到管长和倒流管数量之间的趋势关系图。同时，还可以对管长和其他物理量（如压力、流量等）之间的关系进行分析，找出相关性并进行进一步探讨。

（3）以下是我想到的角度减少倒流现象，不限于以下方法：

1.加强管道支撑和固定。管道失稳是导致倒流现象的主要原因之一，所以加强管道的支撑和固定可以有效减少管道的振动和摆动，从而减少倒流发生的概率。

2 改进蒸汽发生器的设计。可以通过改变U型管的形状和大小等参数来改进蒸汽发生器的设计，减少倒流现象的发生。例如，可以适当增加U型管的内径和外径，降低管道的摩擦阻力，从而减小压降，降低倒流风险。

3.优化冷却剂流动。在设计冷却剂流动系统时，可以采用合理的流动分布方式，使得所有倒U型管道中的流量分配均匀，从而避免流量局部过大或过小所导致的倒流现象。

4.增加稳压器的调节精度。通过增加稳压器的调节精度，能够减少二次侧的压力震荡和波动，降低倒流的概率。

5.加强检测与监控。可以采用现代化的检测和监控技术，对压力、温度、流量等参数进行实时监测，及时发现并处理倒流现象，保障反应堆的安全运行。

2.4 问题四

从改进蒸汽发生器的设计的角度去探讨。改进的其中一个方法是调整倒U型管的形状和大小等参数，进而减少管道内的压降，从而降低倒流现象的风险。具体来说，可以通过增加U型管的内径和外径来改进设计，进而降低管道的摩擦阻力，减小压降。同时，也可以通过调整管道的弯曲半径等参数来改善管道的流动状态，进一步降低压降。

3 建模方案

模型假设

（1）内部液体速度是均匀的

（2）液体的比热容和流量均为常数

（3）管内阻力主要由摩擦力和弯曲阻力组成

（4）极小化管内进出口压差为目标

3.1 问题一

用连续性方程和动量守恒方程建立U形管液体流动模型。由于流体速度为常数，方程可以简化，连续性方程为：

$$\nabla \cdot (\rho v)=0$$

动量守恒方程为：

$$\nabla p=\rho g+F$$

由流体力学理论可知，当液体处于静态平衡时，液面高度$h$与U型管线s的关系为：

$$\frac{dh}{ds}=-\frac{\rho g}{\nabla p}$$

由热力学理论可知，压力$p$、温度$T$和密度$\rho$之间的关系为：

$$p=\rho RT$$

$$。。。略，请下载完整文档$$

3.2 问题二

（1）画$\Delta p$与流体速度v之间的关系简化模型

假设第$i$个U型管中，一次侧的液体高度为$h_i$，则一次侧流入流量为$Q=m_i/A_i$，流出流量为$Q^{\prime }=(m_i+\Delta m_i)/A_i$，其中$\Delta m_i$表示单位时间内的液体质量，且可以得到：

$$\{\begin{array}{l}{h}_i+\frac{\Delta m_i}{\rho A_i}=h_i\\ h_i+\frac{m_i}{\rho A_i}=h_0\end{array}$$

即$\Delta m_i=-\rho Q_i^{\prime }(v_i)\Delta s_i$，其中$Q_i^{\prime }(v_i)$表示在速度为$v_i$时的单位时间内流入的流量。

同时假设倒U型管中的液体速度均匀，然后利用伯努利方程综合以上假设得：

$$\Delta p_i=\rho \cdot g\cdot (h_0-h_i)-2\cdot \rho \cdot v_i^2\cdot k_i$$

$$。。。略，请下载完整文档$$

（2）分析液体倒流的原因

基于以上假设，建立数学模型来分析原因，需要通过数值模拟或其他方式优化目标函数$F$，找到使得$F$最小的 { w i } \{w_i\} { wi​}，具体模型如下。

• 质量守恒定律：

$$Q_i^{\prime }=\pi \cdot r_i^2\cdot w_i=N_i\cdot Q\pm m_i\cdot \frac{\partial w_i}{\partial x}$$

• 倒U型管内的液体流动速度$v_i$：

$$v_i=\frac{Q_i}{\pi \cdot r_i^2}$$

• 倒U型管内的电阻：

$$R_i=R_{f,i}+R_{b,i}=\frac{16{\mu }_i\cdot l_i}{\pi \cdot D_i^4}+\frac{{\rho }_i\cdot A_i^2}{2\cdot k_i\cdot r_i}$$

其中，$R_{f,i}$为摩擦电阻，$R_{b,i}$为弯曲电阻，${\mu }_i$为点密度；$l_i$、$D_i$、${\rho }_i$、$A_i$和$k_i$分别为倒U型管的长度、直径、密度、横截面积和弯曲半径。

• 进出口压差$\Delta p_i$：

$$\Delta p_i={\rho }_i\cdot g\cdot H_i+R_i\cdot v_i$$

$$。。。略，请下载完整文档$$

3 问题三

（1） 计算给定反应推功率下每个管道的流动情况。

根据思路的步骤，建立的数学模型可以表示为：

第一步：几何体模型建立：
$$V_i=l_i\cdot \pi \cdot r_i^2,V_j=l_j\cdot w_j\cdot h_j$$

其中，$V_i$表示倒U型管的体积，$V_j$表示管道的体积，$l_i$、$r_i$、$l_j$、$w_j$和$h_j$分别为倒U型管的长度、半径和管道的长度、宽度和高度。

第二步：经验公式的输入：
$$\Delta p_i=16{\mu }_i\frac{L_i}{\pi r_i^4}{Q}_i+\frac{{\rho }_i{L}_i}{\pi r_i^2}\frac{Q_i^2}{2{\pi }^2{r}_i^2}+\frac{C_i^2}{2g}$$

其中，$\Delta p_i$表示倒U型管$i$中液体通过所需的压降，${\mu }_i$、${\rho }_i$、$L_i$和$r_i$分别表示介质的动力粘度、密度、长度和半径，$Q_i$为管内液体的流量，$C_i$为液体通过管道$i$中时的流速。

第三步：边界条件：

$$。。。略，请下载完整文档$$

（2）计算分析U型管内倒流管占的比例，并研究这些倒流管和它的管长之间的关系。

根据以上分析思路，建立的数学模型可以表示为：

第一步：计算U型管内倒流管所占的比例：

通过数值模拟，可以得到每个倒U型管内部的流动情况，包括流速、流量、压力等物理量。对于每个倒U型管，可以定义一个二值变量$y_{i,j}$表示管道$j$内是否存在倒流，其中$i$表示第$i$个倒U型管，$j$表示倒U型管中的第$j$个管道，即：

$$y_{i,j}=\{\begin{array}{rl}1,& \text{存在倒流}\\ 0,& \text{不存在倒流}\end{array}$$

统计每个倒U型管内倒流管的数量$N_{back,i}$，并计算倒流管所占的比例$p_{back,i}$：

$$。。。略，请下载完整文档$$

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