问题描述

题目
假设一个球从任意高度自由落下，每次落地后反跳回原高度的一半; 再落下, 求它在第5次落地时，共经历多少米?第5次反弹多高？
数据范围：输入的小球初始高度满足 1≤ n ≤1000 ，且保证是一个整数。
输入描述：
输入起始高度，int型
输出描述：
分别输出第5次落地时，共经过多少米以及第5次反弹多高。
注意：你可以认为你输出保留六位或以上小数的结果可以通过此题。

例子
输入：1
输出：2.875
           0.03125

解决方法

package huawei;
import java.util.Scanner;
public class Main{
    
    
	
    public static void main(String[] args){
    
    
    	Scanner sc = new Scanner(System.in);
        while(sc.hasNext()){
    
    
        	double input = sc.nextInt();
        	double high = input;
        	for(int i = 0; i < 4; i++){
    
    
        		high += input;
        		input /= 2.0;
        	}
        	input /= 2.0;
        	System.out.println(high);
        	System.out.println(input);
        	
        }
    }
} 

        该代码是牛客上面一个哥们写的，在此作为例子。我们碰到这种问题时，大部分第一想法是用循环解决，就像上面的代码一样。其实这道题还有一个不错的解法，具体代码如下：

import java.util.*;

// 注意类名必须为 Main, 不要有任何 package xxx 信息
public class Main {
    
    
    public static void main(String[] args) {
    
    
        Scanner input = new Scanner(System.in);
        int height=input.nextInt();
        double num1=height*Math.pow(0.5,5);
        double num2=3*height-4*num1;
        System.out.println(num2);
        System.out.println(num1);
    }
}

解题思路

        这道题本质上还是一道关于等比数列的算法题，可以利用等比数列的通项公式和求和公式解决。以这道题举个例子：
        假设小球从n高度掉下来，每次反跳回原来的一半，那么第一次反跳就是n0.5，第二次则是n0.5*0.5，以此类体，这就是等比数列，公比是0.5。
        注意：在这道题中，首项就是初始的高度，但是第五次的反跳高度是数列中的第6项。
        根据等比数列通项公式a_n=a₁*q^n-1可以算出第五次反跳的高度，转换成代码如下：

		double num1=height*Math.pow(0.5,5);

        而第五次落地时经历多少米则是通过等比数列变换后计算出来的，过程思路如下：
        根据等比数列的求和公式S_n=(a₁-a_nq)/(1-q) 可以算出小球五次反跳的总高度，也就是下面图片中5条绿色线的高度。如果我们假设第五次反跳后还会掉到地面（图中x之后还有一条红线，图中没画），那么会更好的计算了，总长度就是等比数列前五项和的2倍，注意的是这里的第一项是第一次反跳的位置。假设初始高度为x，那么第一次反跳高度为x/2，将其和公比q（0.5）代入公式得:

S₅=(x/2-a₅*0.5)/(1-0.5)*2

算完之后，还要算上初始时掉下来的记录。因为题目要求算到第5次落地，那时还没反跳，所以减去第5次反跳的两倍距离，总距离如下：

L=S₅+x-2a₅
因为之前的代码中num1就是这里的a₅，所以全部带进来后得：
L=(x0.5-num10.5)22-num12+x；
化简后
L=3x-4*num1
该结果对应的代码是：

		double num2=3*height-4*num1;