问题重述

本题研究如何用多个整数矩阵的乘积来逼近DFT矩阵,目的是用这种方法代替目前在芯片上用于DFT计算的FFT算法,以降低硬件复杂度。

给定N维DFT矩阵F_N,要求设计K个矩阵A_1到A_K,使得它们的乘积最接近于βF_N,其中β是一个缩放系数。目标是最小化它们之间的Frobenius范数误差。

硬件复杂度C定义为:乘法器个数q × 复数乘法次数L。其中q表示矩阵元素的取值范围,L表示进行复数乘法的次数。

问题要求:

1. 在矩阵行数限制为2的条件下,优化A和β以最小化误差,计算最小误差和硬件复杂度C。

2. 在矩阵元素取值范围限制为整数的条件下,优化A和β,计算误差和C。

3. 在同时考虑稀疏性约束和取值范围约束的条件下,优化A和β,计算误差和C。

4. 对Kronecker矩阵乘积情况进行分析。

5. 在一定精度限制下,优化A、β和取值范围q,计算C。

目标是在保证一定的计算精度的前提下,尽可能减少硬件复杂度C。

问题一

问题1要求在约束每个A_(k)矩阵的每行最多有2个非零元素的条件下,优化变量A和β以最小化DFT矩阵F_N与A_1A_2…A_K乘积之间的Frobenius范数误差。

建模思路:

1. 定义优化变量:

• A = {A_1,A_2,…,A_K},其中A_k是N阶方阵
• β,实数缩放因子

2. 定义优化目标:

${\min }_{\mathcal{A},\beta }\frac{1}{N}\sqrt{\Vert \beta F_N-A_1{A}_2\cdots A_K{\Vert }_F^2}$

3. 定义约束条件:

对于k=1,2,…,K:

A_k的每行有至多2个非零元素

4. 计算复杂度:

默认q=16

则$C=q\times L$

其中L为进行复数乘法的次数,与0、±1、±j或(±1±j)相乘不计入L。

5. 求解优化问题,得到最优A、β,计算最小误差及复杂度C。

import numpy as np
from scipy.optimize import minimize

# DFT矩阵定义
N = 8  
F_N = np.zeros((N, N), dtype=complex)
for k in range(N):
    for n in range(N):
        F_N[k, n] = np.exp(-2j * np.pi * k * n / N) / np.sqrt(N)

# 优化目标函数    
def optimize_func(x, F_N):
    A = x[:-1].reshape(K, N, N) # 构造A矩阵
    beta = x[-1]  
    F_approx = beta * F_N  
    for i in range(K):
        F_approx = np.dot(F_approx, A[i]) # 逐个矩阵乘积     
    loss = np.linalg.norm(F_N - F_approx, 'fro') / N
    return loss

# 约束条件函数
def constraint_func(x):
    A = x[:-1].reshape(K, N, N)
    for i in range(K):
        if np.count_nonzero(A[i], axis=1).max() > 2: 
            return False
    return True
    
# 初始化参数
K = 3  
init_x = [np.random.randn(N, N) for i in range(K)]

问题二

1. 定义优化变量:

• A = { A 1 , A 2 , … , A K } A = \{A_1,A_2,\ldots,A_K\} A={ A1​,A2​,…,AK​},其中$A_k\in {\mathbb{C}}^{N\times N}$
• $\beta \in \mathbb{R}$,缩放因子

2. 定义优化目标:

${\min }_{\mathcal{A},\beta }\frac{1}{N}\Vert \beta F_N-A_1{A}_2\cdots A_K{\Vert }_F$

3. 定义约束条件:

对于$k=1,2,\dots ,K$:

\begin{equation}
A_k[i,j] \in {x+jy|x,y\in P}, \quad i,j=1,2,\ldots,N
\end{equation}

其中 P = { 0 , ± 1 , ± 2 , … , ± 2 q − 1 } P=\{0,\pm 1,\pm 2, \ldots, \pm 2^{q-1}\} P={ 0,±1,±2,…,±2q−1},此处取$q=3$

4. 计算复杂度

(1) 定义$L_k$为矩阵$A_k$进行复数乘法的次数。

(2) $L_k$的计算:遍历矩阵$A_k$的每个元素$A_k[i,j]$,判断该元素是否属于{0, ±1, ±j, (±1±j)}这些简单乘法的元素,如果不是,则$L_k$加1。

(3) 重复上述操作,可以得到每个矩阵$A_k$的复数乘法次数$L_k$。

(4) 根据复杂度公式$C=q\times ({\sum }_{k=1}^K{L}_k)$,可以求出总的复杂度$C$。

5. 求解优化问题

(1) 将优化目标函数和约束条件建立成一个无约束优化问题。

(2) 初始化优化变量$A$和$\beta$。

(3) 使用优化算法(如梯度下降法、牛顿法等)求解这个无约束优化问题。

(4) 比较不同初始化的优化结果,选择其中误差最小的解作为最优解。

(5) 将最优解$A,\beta$代入公式,计算最小误差和复杂度$C$。

import numpy as np
from scipy.optimize import minimize

N = 8 
F_N = np.fft.fft(np.eye(N)) / np.sqrt(N)

# 优化目标函数
def optimize_func(x, F_N):
    A = x[:-1].reshape(K, N, N)
    beta = x[-1]  
    loss = np.linalg.norm(beta*F_N - np.prod(A, axis=0), 'fro') / N
    return loss

# 约束条件函数  
def constraint_func(x):
    A = x[:-1].reshape(K, N, N)
    for i in range(K):
        if np.any(np.abs(A[i]) > 2**2):
            return False
    return True

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