输入描述:
每个输入包含 1 个测试用例。每个测试数据的第一行包含一个整数 n (1 <= n <= 50),表示学生的个数,接下来的一行,包含 n 个整数,按顺序表示每个学生的能力值 ai(-50 <= ai <= 50)。接下来的一行包含两个整数,k 和 d (1 <= k <= 10, 1 <= d <= 50)。
输出描述:
输出一行表示最大的乘积。
1. 题目分析
题目要求n各学生中选择k个,使这k个学生的能力值乘积最大。这是一个最优化的问题。另外,在优化过程中,提出了相邻两个学生的位置编号差不超过d的约束。
如果不用递归或者动态规划,问题很难入手,并且,限制条件d也需要对每一个进行约束,编程十分复杂
所以,解决的方法是采用动态规划(理由:1.求解的是最优化问题;2.可以分解为最优子结构)
2. 问题分解
1.对该问题的分解是关键。
从n个学生中,选择k个,可以看成是:先从n个学生里选择最后1个,然后在剩下的里选择k-1个,并且让这1个和前k-1个满足约束条件
2.数学描述
为了能够编程实现,需要归纳出其递推公式,而在写递推公式之前,首先又需要对其进行数学描述
记第k个人的位置为one,则可以用f[one][k]表示从n个人中选择k个的方案。然后,它的子问题,需要从one前面的left个人里面,选择k-1个,这里left表示k-1个人中最后一个(即第k-1个)人的位置,因此,子问题可以表示成f[left][k-1].
学生能力数组记为arr[n+1],第i个学生的能力值为arr[i]
one表示最后一个人,其取值范围为[1,n];
left表示第k-1个人所处的位置,需要和第k个人的位置差不超过d,因此
max{k-1,one-d}<=left<=one-1
在n和k定了之后,需要求解出n个学生选择k个能力值乘积的最大值。因为能力值有正有负,所以
当one对应的学生能力值为正时,
f[one][k] = max{f[left][k-1]arr[i]}(max{k-1,one-d}<=left<=one-1);
当one对应的学生能力值为负时
g[one][k] = max{g[left][k-1]arr[i]}(max{k-1,one-d}<=left<=one-1);
此处g[][]是存储n个选k个能力值乘积的最小值数组
#include <stdio.h>
inline
long
long
max(
long
long
a,
long
long
b){
return
(a>b?a:b);}
inline
long
long
min(
long
long
a,
long
long
b){
return
(a>b?b:a);}
int
main(){
int
N,K,D,i,j,k;
long
long
stu[51],fm[11][51],fn[11][51],ans;
while
(~
scanf
(
"%d"
,&N)){
for
(i=0;i<N;
scanf
(
"%lld"
,&stu[++i]));
scanf
(
"%d %d"
,&K,&D);
for
(i=0;i<=K;++i)
for
(j=0;j<=N;fm[i][j]=fn[i][j]=0,++j);
for
(i=1,ans=~0LL;i<=N;++i){
fm[1][i]=fn[1][i]=stu[i];
for
(k=2;k<=K;++k){
for
(j=i-1;j>0 && i-j<=D;--j){
fm[k][i]=max(fm[k][i],max(fm[k-1][j]*stu[i],fn[k-1][j]*stu[i]));
fn[k][i]=min(fn[k][i],min(fn[k-1][j]*stu[i],fm[k-1][j]*stu[i]));
}
}
ans=max(ans,fm[K][i]);
}
printf
(
"%lld\n"
,ans);
}
return
0;
}