题意:将[1,n^2]区间内n^2个数字分别填充到n*n的矩阵里,要求任意两个相邻的数字的和,它们的最大值最小是多少?
例如
1,2
3,4。就可以组成1+2,1+3,2+4这三个和,最大值是6。
做法:
在[1+n*n,2n*n-1]的区间二分,假设当前二分的答案是x,考虑x是否能构成一个符合题意的矩阵。
用x分割成三个区间,[1,x-n*n-1],[x-n*n,x/2],[x/2+1,n*n],其中x/2保留整数部分,
分别设为A,B,C三个区间,可以证明,在A,B中,任意取两个数相邻,它们的和都是不超过x的,
在C中任意取一个数,优先在B中匹配一个数,若没有合法的选项,则在A中匹配,可以证明,这
是最优的策略。
由于上述的性质,只需要把C里的数字都给匹配完,就可以了。
很自然可以得到这样一中构造矩阵的方法:
考虑,n=3,x=11的情况,得到A:[1,1],B:[2,5],C:[6,9]
第一步:9
第二步:9,2
第三步:9,2,8
第四步:
9,2,8
1, ,3
第五步:
9,2,8
1,7,3
第六步:
9,2,8
1,7,3
4
第七步:
9,2,8
1,7,3
6,4
注意到,此时C已经匹配完,所以剩下的数字,这里是5随意放哪里都可以,这里是右下角。
由此得出x=11是符合题意得,继续二分下去,即可得到想要的x(也就是最小的最大和)。
这样构造的思路是,每次优先把C中较大的数给放进矩阵,然后在A,B中找刚刚好能够匹配
的数字将其围住,例如第四步中就将9和8给围住了,由于此时第一行中较大的数已经不会
影响到第二行,所以可以把C中较大的数字在第二行任意摆放,这里是7。
基于上述的贪心策略,可以证明这种方法是正确的。
例如
1,2
3,4。就可以组成1+2,1+3,2+4这三个和,最大值是6。
做法:
在[1+n*n,2n*n-1]的区间二分,假设当前二分的答案是x,考虑x是否能构成一个符合题意的矩阵。
用x分割成三个区间,[1,x-n*n-1],[x-n*n,x/2],[x/2+1,n*n],其中x/2保留整数部分,
分别设为A,B,C三个区间,可以证明,在A,B中,任意取两个数相邻,它们的和都是不超过x的,
在C中任意取一个数,优先在B中匹配一个数,若没有合法的选项,则在A中匹配,可以证明,这
是最优的策略。
由于上述的性质,只需要把C里的数字都给匹配完,就可以了。
很自然可以得到这样一中构造矩阵的方法:
考虑,n=3,x=11的情况,得到A:[1,1],B:[2,5],C:[6,9]
第一步:9
第二步:9,2
第三步:9,2,8
第四步:
9,2,8
1, ,3
第五步:
9,2,8
1,7,3
第六步:
9,2,8
1,7,3
4
第七步:
9,2,8
1,7,3
6,4
注意到,此时C已经匹配完,所以剩下的数字,这里是5随意放哪里都可以,这里是右下角。
由此得出x=11是符合题意得,继续二分下去,即可得到想要的x(也就是最小的最大和)。
这样构造的思路是,每次优先把C中较大的数给放进矩阵,然后在A,B中找刚刚好能够匹配
的数字将其围住,例如第四步中就将9和8给围住了,由于此时第一行中较大的数已经不会
影响到第二行,所以可以把C中较大的数字在第二行任意摆放,这里是7。
基于上述的贪心策略,可以证明这种方法是正确的。