参考整理模板来自：https://blog.csdn.net/tomorrowtodie/article/details/51865496
1.求最小正整数逆元模板
/* 求最小逆元模板 */
typedef long long ll;
ll e_gcd (ll a, ll b, ll& x, ll& y)//扩展欧几里得算法：求等式ax+by=gcd(a,b)中的x,y
{
if (b == 0)
{
x = 1, y = 0;
return a;
}
ll ans = e_gcd (b, a % b, y, x);
y -= a / b * x; //这个和前面用的方法不一样，不过是对的，写起来更快、
return ans;
}
ll Cal(ll a,ll b,ll c)//求最小的x使ax+ by = c
{
ll x,y;
ll gcd = e_gcd(a,b,x,y);
if (c%gcd) return -1;//无解
x*=c/gcd;
b /= gcd;
if (b < 0) b = -b;
ll ans = x%b;
if (ans <= 0) ans += b;
return ans;
}
2.
中国剩余定理模板：
typedef long long ll;
ll e_gcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{
if (b == 0)
{
x = 1,y = 0;
return a;
}
ll ans = e_gcd(b,a%b,y,x);
y -= a/b*x;
return ans;
}
ll CR(int a[],int m[],int n)
{
ll M = 1;
for (int i = 1;i <= n;++i) M*=m[i];
ll ans = 0;
for (int i = 1;i <= n;++i)
{
ll Mi = M/m[i]; ll x,y;
ll t = e_gcd(m[i],Mi,x,y);
ans = (ans+y*Mi*a[i])%M;
}
ans = (M+ans%M)%M;
if (ans == 0) //当余数都为0
{
ans = 1;
for (int i = 1; i <= n; ++i)
{
ans = ans*m[i]/__gcd(ans,(ll)m[i]);
}
}
return ans;
}3.素数筛选法：
typedef long long ll;
const int N = 100;
bool p[N+5];
void init()
{
memset(p,1,sizeof(p));
for (int i = 2;i*i <= N;++i)
{
if (p[i])
{
for (int j = i*i;j <= N;j+=i)
{
p[j] = 0;
}
}
}
}4.Miller Rabin算法测试该算法是一种基于概率的素数测试算法，特点是速度快，
能判断<2^63的数是不是素数
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<cmath>
#include<stdlib.h>
#include<cctype>
#include<time.h>
#define mem(a,x) memset(a,x,sizeof(a))
using namespace std;
typedef long long ll;
const int S = 8;//测试次数
ll mult_mod (ll a,ll b, ll c)
{
a%=c,b%=c;
ll ret = 0;
ll tmp = a;
while (b)
{
if (b&1)
{
ret += tmp;
if (ret > c) ret -= c;
}
tmp<<=1;
if (tmp>c) tmp-=c;
b>>=1;
}
return ret;
}
ll pow_mod(ll a,ll n,ll mod)
{
ll ret = 1;
ll temp = a%mod;
while (n)
{
if (n&1) ret = mult_mod(ret,temp,mod);
temp = mult_mod(temp,temp,mod);
n>>=1;
}
return ret;
}
bool check(ll a,ll n,ll x,ll t)
{
ll ret = pow_mod(a,x,n);
ll last = ret;
for (int i = 1;i <= t;++i)
{
ret = mult_mod(ret,ret,n);
if (ret == 1&&last!=1&&last!=n-1) return 1;
last = ret;
}
if (ret != 1) return 1;
else return 0;
}
bool MR(ll n)
{
if(n < 2) return 0;
if (n == 2) return 1;
if ((n&1)==0) return 0;
ll x = n - 1;
ll t = 0;
while ((x&1)==0)
{
x>>=1;++t;
}
srand(time(NULL));
for (int i = 0;i < S;++i)//做S次测试
{
ll a = rand()%(n-1) + 1;
if (check(a,n,x,t)) return 0;//只要其中有一次判定是合数就可以确定一定是合数
}
return 1;
}
int main()
{
ll n;
while (cin>>n)
{
if (MR(n)) puts("YES");
else puts("NO");
}
return 0;
}代码模板二：推荐
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<cmath>
#include<stdlib.h>
#include<cctype>
#include<time.h>
#define mem(a,x) memset(a,x,sizeof(a))
using namespace std;
typedef long long ll;
const int S = 8;//测试次数
ll mult_mod(ll a, ll b, ll c)
{
a %= c, b %= c;
ll ret = 0;
ll tmp = a;
while (b)
{
if (b & 1)
{
ret += tmp;
if (ret > c) ret -= c;
}
tmp <<= 1;
if (tmp>c) tmp -= c;
b >>= 1;
}
return ret;
}
ll pow_mod(ll a, ll n, ll mod)
{
ll ret = 1;
ll temp = a % mod;
while (n)
{
if (n & 1) ret = mult_mod(ret, temp, mod);
temp = mult_mod(temp, temp, mod);
n >>= 1;
}
return ret;
}
bool check(ll a, ll n, ll x, ll t)
{
ll ret = pow_mod(a, x, n);
ll last = ret;
for (int i = 1; i <= t; ++i)
{
ret = mult_mod(ret, ret, n);
if (ret == 1 && last != 1 && last != n - 1) return 1;
last = ret;
}
if (ret != 1) return 1;
else return 0;
}
bool MR(ll n)
{
if (n < 2) return 0;
if (n == 2) return 1;
if ((n & 1) == 0) return 0;
ll x = n - 1;
ll t = 0;
while ((x & 1) == 0)
{
x >>= 1; ++t;
}
srand(time(NULL));
for (int i = 0; i < S; ++i)//做S次测试
{
ll a = rand() % (n - 1) + 1;
if (check(a, n, x, t)) return 0;//只要其中有一次判定是合数就可以确定一定是合数
}
return 1;
}
int main()
{
ll n;
while ((scanf("%lld",&n)!=EOF))
{
if (MR(n)) printf("Prime\n");
else printf("2\n");
}
return 0;
}
5.
.数分解用的是Pollard rho算法,具体原理我也没懂，反正就是可以求2^63以内的数分解成素因子
模板：
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<stdlib.h>
#include<time.h>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
//****************************************************************
// Miller_Rabin 算法进行素数测试
//速度快，而且可以判断 <2^63的数
//****************************************************************
const int S=20;//随机算法判定次数，S越大，判错概率越小
//计算 (a*b)%c. a,b都是long long的数，直接相乘可能溢出的
// a,b,c <2^63
long long mult_mod(long long a,long long b,long long c)
{
a%=c;
b%=c;
long long ret=0;
while(b)
{
if(b&1){ret+=a;ret%=c;}
a<<=1;
if(a>=c)a%=c;
b>>=1;
}
return ret;
}
//计算 x^n %c
long long pow_mod(long long x,long long n,long long mod)//x^n%c
{
if(n==1)return x%mod;
x%=mod;
long long tmp=x;
long long ret=1;
while(n)
{
if(n&1) ret=mult_mod(ret,tmp,mod);
tmp=mult_mod(tmp,tmp,mod);
n>>=1;
}
return ret;
}
//以a为基,n-1=x*2^t a^(n-1)=1(mod n) 验证n是不是合数
//一定是合数返回true,不一定返回false
bool check(long long a,long long n,long long x,long long t)
{
long long ret=pow_mod(a,x,n);
long long last=ret;
for(int i=1;i<=t;i++)
{
ret=mult_mod(ret,ret,n);
if(ret==1&&last!=1&&last!=n-1) return true;//合数
last=ret;
}
if(ret!=1) return true;
return false;
}
// Miller_Rabin()算法素数判定
//是素数返回true.(可能是伪素数，但概率极小)
//合数返回false;
bool Miller_Rabin(long long n)
{
if(n<2)return false;
if(n==2)return true;
if((n&1)==0) return false;//偶数
long long x=n-1;
long long t=0;
while((x&1)==0){x>>=1;t++;}
for(int i=0;i<S;i++)
{
long long a=rand()%(n-1)+1;//rand()需要stdlib.h头文件
if(check(a,n,x,t))
return false;//合数
}
return true;
}
//************************************************
//pollard_rho 算法进行质因数分解
//************************************************
long long factor[100];//质因数分解结果（刚返回时是无序的）
int tol;//质因数的个数。数组小标从0开始
long long gcd(long long a,long long b)
{
if(a==0)return 1;//???????
if(a<0) return gcd(-a,b);
while(b)
{
long long t=a%b;
a=b;
b=t;
}
return a;
}
long long Pollard_rho(long long x,long long c)
{
long long i=1,k=2;
long long x0=rand()%x;
long long y=x0;
while(1)
{
i++;
x0=(mult_mod(x0,x0,x)+c)%x;
long long d=gcd(y-x0,x);
if(d!=1&&d!=x) return d;
if(y==x0) return x;
if(i==k){y=x0;k+=k;}
}
}
//对n进行素因子分解
void findfac(long long n)
{
if(Miller_Rabin(n))//素数
{
factor[tol++]=n;
return;
}
long long p=n;
while(p>=n)p=Pollard_rho(p,rand()%(n-1)+1);
findfac(p);
findfac(n/p);
}
int main()
{
//srand(time(NULL));//需要time.h头文件//POJ上G++不能加这句话
long long n;
while(scanf("%I64d",&n)!=EOF)
{
tol=0;
findfac(n);
for(int i=0;i<tol;i++)printf("%I64d ",factor[i]);
printf("\n");
if(Miller_Rabin(n))printf("Yes\n");
else printf("No\n");
}
return 0;
}
6.欧拉函数：
定义：
在数论，对正整数n，欧拉函数是小于等于n的数中与n互质的数的数目。
此函数以其首名研究者欧拉命名(Euler'so totient function)，它又称为Euler's totient function、φ函数、欧拉商数等。
例如φ(8)=4，因为1,3,5,7均和8互质。
通式：
φ(x) = x(1 - 1/p1)(1 - 1/p2)(1 - 1/p3) ...(1 - 1/pn)
,其中p1, p2……pn为x的所有质因数，x是不为0的整数。φ(1)=1（唯一和1互质的数(小于等于1)就是1本身）。 (注意：每种质因数只一个。比如12=2*2*3那么φ（12）=12*（1-1/2）*(1-1/3)=4若n是质数p的k次幂，
φ(n) = p^k - p^(k-1) = (p-1)p^(k-1)
，因为除了p的倍数外，其他数都跟n互质。
设n为正整数，以 φ(n)表示不超过n且与n互
素的正整数的个数，称为n的欧拉函数值，这里函数
φ：N→N，n→φ(n)称为欧拉函数。
欧拉函数是积性函数——若m,n互质，
φ(mn) = φ(m)φ(n);
特殊性质：当n为奇数时，
φ(2n) = φ(n);
, 证明与上述类似。若n为质数则
φ(n) = n - 1;
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int MAXN = 1e5;
int isprime[MAXN];
int prime[MAXN];
int cnt;
void getP()
{
cnt = 0;
for(int i = 1; i < MAXN; i++)
isprime[i] = 1;
for(int i = 2; i < MAXN; i++)
{
if(!isprime[i])continue;
prime[cnt++] = i;
for(int j = 2 * i; j < MAXN; j += i)
{
isprime[j] = 0;
}
}
}
int euler( int n ) //求小于n且与n互质的数的个数
{
int ans = n;
for(int i = 0; prime[i] * prime[i] <= n; i++)
{
if(n%prime[i] == 0)
{
ans = ans - ans / prime[i]; //ans=ans*(1-1/pi)
while(n%prime[i] == 0)
{
n /= prime[i];
}
}
}
if(n > 1) ans = ans - ans / n;
return ans;
}
int main()
{
getP();
int n;
while(cin >> n&&n)
{
cout << euler( n ) << endl;
}
return 0;
}