中国剩余定理

如果方程有多个，但是未知数仍然只有一个怎么办？好在所有的 $m_i$ 互质。
$\begin{cases}x≡a_1\pmod{m_1}\\x≡a_2\pmod{m_2}\\\qquad\vdots\\x≡a_n\pmod{m_n}\\ \forall i\not=j,(m_i,m_j)=1&//互质\end{cases}$

令$M=\prod\limits_{i=1}^n m_i$，$w_i=\dfrac M{m_i}$，由于所有的 $m_i$ 互质，有$(w_i,m_i)=1$。
用扩展欧几里得求不定方程 $p_i$ 和 $q_i$，满足 $w_ip_i+m_iq_i=(w_i,m_i)=1$
令 $e_i=w_ip_i$ 则方程组等价于 $x≡\sum\limits_{i=1}^ne_ia_i\pmod M$
$\begin{split} 证明：&\because w_ip_i+m_iq_i=1\\ &\therefore e_i≡1\pmod {m_i}\\ &\therefore e_ia_i≡a_i\pmod {m_i}\\ &\because M=\prod\limits_{i=1}^n m_i,w_i=\dfrac M{m_i}\\ &\therefore \forall i\not=j,m_j|w_i\\ &\therefore e_ja_j≡w_jp_ja_j≡0\times p_ja_j≡0\pmod {m_i}\\ &\therefore \forall x≡\sum\limits_{i=1}^ne_ia_i\pmod M,x≡a_i\pmod {m_i}\\ \end{split}$

筛函数

欧拉函数

为什么可以线性筛欧拉函数呢？ 因为欧拉函数是积性函数，那就有如下性质。
$1.\quad$若 $m\in prime,n≡0 \pmod m$ 则 $\varphi(n\times m)=\varphi(n)\times m$
$\begin{equation} \begin{aligned} 证明：&构造矩阵\\ &\begin{bmatrix} &1&2&\cdots&r&\cdots&n\\ &n+1&n+2&\cdots&n+r&\cdots&2n\\ &2n+1&2n+2&\cdots&2n+r&\cdots&3n\\ &\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\ddots&\vdots\\ &(m-1)n+1&(m-1)n+2&\cdots&(m-1)n+r&\cdots&mn \end{bmatrix}\\ &由于(n,m)=1，因此与nm互质的数相当于与n互质且与m互质的数的个数。\\ &\because (kn+r,n)=(r, n)\\ &\therefore 每一列的 m 个元素同时与 n 互素当且仅当(r,n)=1。\\ &\therefore 共有\varphi(n)列，其余列均不与n互质。\\ &其中满足(r,n)=1的第r列第k行的数为kn+r\\ &又\because n≡0\pmod m\\ &\therefore kn+r≡0\times k+r≡r\pmod m\\ &又\because r\not=0\\ &\therefore (kn+r,m)=1\\ &\therefore 满足(r,n)=1的第r列的所有m个数均与n互质。\\ &\therefore \varphi(n\times m)=\varphi(n)\times m \\ \end{aligned} \end{equation}$
$2.\quad$若 $p\in prime,i\not≡0 \pmod p$ 则 $\varphi(i\times p)=\varphi(i)\times (p-1)$
$\qquad \begin{split} 证明：&\because 欧拉函数是积性函数且(i,p)=1\\ &\therefore \varphi(i\times p)=\varphi(i)\times\varphi(p)\\ &又\because p\in prime\\ &\therefore \varphi(p)=p-1\\ &\therefore φ(i×p)=φ(i)×(p−1) \end{split}$
$3.\quad若p\in prime则\varphi(p)=p-1$。

莫比乌斯函数