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【题目】使用Prim算法求得图的最小生成树
【解题思路】若对Prim算法不了解,建议先看这篇:Prim,这篇有Prim简单算法实现(只求一个最小生成树的权重之和),掌握了这个之后,比较好理解以下内容
- lowCost[v]表示:当前生成树到结点v的最短边
- 多设一个数组,lowNode[v]表示:到结点v的最短边的另一个结点是lowNode[v] --> 即表示结点v的父亲是lowNode[v],每一个循环根据这个来构建树
- 技巧:结点的组织方式是一个数组的时候,创建树的时候可以使用一个tmp[]数组先存放树的结点,便于操作
【测试数据】
#define INF 10000
typedef struct CSNode{
VertexType data;
struct CSNode *firstchild;
struct CSNode *sibling;
VRType childW; //孩子的边权重
VRType siblingW; //兄弟的边权重
}CSNode, *CSTree;
VRType GetMSTByPrim(ALGraph G, int v0, CSTree *pT) {
int MST[MAX_VERTEX_NUM]; //当前的生成树:MST[v]=1 表示 结点v在当前的生成树上
VRType sum; //生成树的代价
VRType lowCost[MAX_VERTEX_NUM]; //当前的生成树 到 结点v 的最小边的权重是lowCost[v]
int lowNode[MAX_VERTEX_NUM]; //lowCost对应的顶点信息--> 到v的最小边是v->lowNode[v],权值为lowCost[v]
VRType min; //当前的最小边
int minNode; //最小边的另一个顶点
CSNode *tmp[MAX_VERTEX_NUM];
CSNode *csp;
ArcNode *p;
int i,j,parent;
//初始化
for (i=0; i<G.vernum; i++) {
MST[i]=0;
lowCost[i]=INF;
}
//处理v0结点
MST[v0]=1; //将v0并入生成树
tmp[v0] = (CSNode *)malloc(sizeof(CSNode)); if (!tmp[v0]) exit(OVERFLOW); //为生成树创建v0结点
tmp[v0]->data = G.vers[v0].data; tmp[v0]->firstchild = tmp[v0]->sibling =NULL; //赋值
for (p=G.vers[v0].firstarc; p; p=p->next) {
//当前生成树到adjV结点的最小边是:v0到adjV的边
lowCost[p->adjV]=p->weight; //记下权重
lowNode[p->adjV]=v0; //记下结点
}
sum=0;
for (i=0; i<G.vernum-1; i++) { //还有n-1个结点要处理
//选出最短的边
min=INF;
for (j=0; j<G.vernum; j++) {
// 如果结点j还没有被并入生成树
if (MST[j]==0 && lowCost[j]<min) {
min=lowCost[j];
minNode=j;
}
}
//处理minNode
MST[minNode]=1; //并入生成树
sum += lowCost[minNode]; //生成树的权重
tmp[minNode]=(CSNode *)malloc(sizeof(CSNode)); if (!tmp[minNode]) exit(OVERFLOW); //为生成树创建minNode结点
tmp[minNode]->data = G.vers[minNode].data; tmp[minNode]->firstchild = tmp[minNode]->sibling=NULL; //赋值
//连接边
parent=lowNode[minNode]; //minNode的爸爸是lowNode[minNode],边的权重为lowCost[minNode]
if (tmp[parent]->firstchild) { //第一个孩子存在
for (csp=tmp[parent]->firstchild; csp->sibling; csp=csp->sibling) ; //找到最后一个孩子
csp->sibling = tmp[minNode]; //csp的兄弟是tmp[minNode]
csp->siblingW = lowCost[minNode]; //边权重
} else { //没有第一个孩子
tmp[parent]->firstchild=tmp[minNode]; //孩子为tmp[minNode]
tmp[parent]->childW=lowCost[minNode]; //边的权重为lowCost[minNode]
}
//更新minNode
for (j=0; j<G.vernum; j++) {
for (p=G.vers[minNode].firstarc; p; p=p->next) {
if ( MST[p->adjV]==0 && p->weight<lowCost[p->adjV] ) {
lowCost[p->adjV] = p->weight;
lowNode[p->adjV] = minNode;
}
}
}
}
*pT = tmp[0];
return sum;
}
【完整代码】
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<string.h>
#ifndef BASE
#define BASE
#define TRUE 1
#define FALSE 0
#define OK 1
#define ERROR 0
#define INFEASIBLE -1
#define OVERFLOW -2
typedef int Status;
typedef int bool;
#endif
#define VertexType char //点类型
#define VRType int //边类型
#define maxSize 100
void Visit(VertexType e) {
printf("%c", e);
}
#define MAX_VERTEX_NUM 20
typedef enum{DG, UDG} GraphKind;
typedef struct ArcNode{
int adjV; //边指向的顶点
VRType weight; //权重
struct ArcNode *next;
}ArcNode; //边
typedef struct VNode{
VertexType data;
ArcNode *firstarc;
}VNode, AdjList[MAX_VERTEX_NUM]; //顶点
typedef struct{
GraphKind kind;
int vernum,arcnum;
AdjList vers;
}ALGraph;
Status InitGraph_AL(ALGraph *pG) { //初始化
int i;
pG->arcnum = 0;
pG->vernum = 0;
for (i=0; i<MAX_VERTEX_NUM; ++i)
pG->vers[i].firstarc = NULL; //VC++6.0中指针初始化为0xcccccccc
return OK;
}
int LocateVex_AL(ALGraph G, VertexType e) { //定位值为e的元素下标
int i;
for (i=0; i<G.vernum; ++i) {
if (G.vers[i].data == e) {
return i;
}
}
return -1;
}
// 创建无向图的邻接表--带权
Status CreateUDG_AL(ALGraph *pG) {
//输入规则:顶点数目->弧的数目->各顶点的信息->各条弧的信息
int i,a,b,w;
char tmp[MAX_VERTEX_NUM];
char h,t;
ArcNode *p, *q;
InitGraph_AL(pG); //VC++6.0中指针初始化为0xcccccccc,如果不将指针初始化为NULL,会出错
//图的类型
pG->kind = DG;
//顶点数目
scanf("%d", &i); if (i<0) return ERROR;
pG->vernum = i;
//弧的数目
scanf("%d", &i); if (i<0) return ERROR;
pG->arcnum = i;
//各顶点信息
scanf("%s", tmp);
for (i=0; i<pG->vernum; ++i) pG->vers[i].data=tmp[i];
//弧的信息
for (i=0; i<pG->arcnum; ++i) {
scanf("%s", tmp); //结点
scanf("%d", &w); //权重
h = tmp[0]; t = tmp[2]; //两个结点
a = LocateVex_AL(*pG, h); //定位
b = LocateVex_AL(*pG, t); //定位
if (a<0 || b<0) return ERROR; //定位错误
// a-->b
p = (ArcNode *)malloc(sizeof(ArcNode)); if (!p) exit(OVERFLOW);
p->adjV=b;p->next=NULL;p->weight=w;
if (pG->vers[a].firstarc) { //已经有边了
for (q = pG->vers[a].firstarc; q->next; q=q->next) ; //找到最后一条
q->next = p;
} else { //第一条边
pG->vers[a].firstarc = p;
}
// b-->a
p = (ArcNode *)malloc(sizeof(ArcNode)); if (!p) exit(OVERFLOW);
p->adjV=a;p->next=NULL;p->weight=w;
if (pG->vers[b].firstarc) { //已经有边了
for (q = pG->vers[b].firstarc; q->next; q=q->next) ; //找到最后一条
q->next = p;
} else { //第一条边
pG->vers[b].firstarc = p;
}
}
return OK;
}
/*----------------------------------------------------------------
|求最小生成树-Prim |
----------------------------------------------------------------*/
#define INF 10000
typedef struct CSNode{
VertexType data;
struct CSNode *firstchild;
struct CSNode *sibling;
VRType childW; //孩子的边权重
VRType siblingW; //兄弟的边权重
}CSNode, *CSTree;
VRType GetMSTByPrim(ALGraph G, int v0, CSTree *pT) {
int MST[MAX_VERTEX_NUM]; //当前的生成树:MST[v]=1 表示 结点v在当前的生成树上
VRType sum; //生成树的代价
VRType lowCost[MAX_VERTEX_NUM]; //当前的生成树 到 结点v 的最小边的权重是lowCost[v]
int lowNode[MAX_VERTEX_NUM]; //lowCost对应的顶点信息--> 到v的最小边是v->lowNode[v],权值为lowCost[v]
VRType min; //当前的最小边
int minNode; //最小边的另一个顶点
CSNode *tmp[MAX_VERTEX_NUM];
CSNode *csp;
ArcNode *p;
int i,j,parent;
//初始化
for (i=0; i<G.vernum; i++) {
MST[i]=0;
lowCost[i]=INF;
}
//处理v0结点
MST[v0]=1; //将v0并入生成树
tmp[v0] = (CSNode *)malloc(sizeof(CSNode)); if (!tmp[v0]) exit(OVERFLOW); //为生成树创建v0结点
tmp[v0]->data = G.vers[v0].data; tmp[v0]->firstchild = tmp[v0]->sibling =NULL; //赋值
for (p=G.vers[v0].firstarc; p; p=p->next) {
//当前生成树到adjV结点的最小边是:v0到adjV的边
lowCost[p->adjV]=p->weight; //记下权重
lowNode[p->adjV]=v0; //记下结点
}
sum=0;
for (i=0; i<G.vernum-1; i++) { //还有n-1个结点要处理
//选出最短的边
min=INF;
for (j=0; j<G.vernum; j++) {
// 如果结点j还没有被并入生成树
if (MST[j]==0 && lowCost[j]<min) {
min=lowCost[j];
minNode=j;
}
}
//处理minNode
MST[minNode]=1; //并入生成树
sum += lowCost[minNode]; //生成树的权重
tmp[minNode]=(CSNode *)malloc(sizeof(CSNode)); if (!tmp[minNode]) exit(OVERFLOW); //为生成树创建minNode结点
tmp[minNode]->data = G.vers[minNode].data; tmp[minNode]->firstchild = tmp[minNode]->sibling=NULL; //赋值
//连接边
parent=lowNode[minNode]; //minNode的爸爸是lowNode[minNode],边的权重为lowCost[minNode]
if (tmp[parent]->firstchild) { //第一个孩子存在
for (csp=tmp[parent]->firstchild; csp->sibling; csp=csp->sibling) ; //找到最后一个孩子
csp->sibling = tmp[minNode]; //csp的兄弟是tmp[minNode]
csp->siblingW = lowCost[minNode]; //边权重
} else { //没有第一个孩子
tmp[parent]->firstchild=tmp[minNode]; //孩子为tmp[minNode]
tmp[parent]->childW=lowCost[minNode]; //边的权重为lowCost[minNode]
}
//更新minNode
for (j=0; j<G.vernum; j++) {
for (p=G.vers[minNode].firstarc; p; p=p->next) {
if ( MST[p->adjV]==0 && p->weight<lowCost[p->adjV] ) {
lowCost[p->adjV] = p->weight;
lowNode[p->adjV] = minNode;
}
}
}
}
*pT = tmp[0];
return sum;
}
void TreeVisit(VertexType e) {
printf("%c", e);
}
void PrintAsTree(CSTree T,int i) {
int cnt;
if (T) {
//输出空格
for (cnt=1; cnt<i; cnt++) printf(" ");
//输出字符
TreeVisit(T->data);
printf("\n");
PrintAsTree(T->firstchild, i+1);
PrintAsTree(T->sibling, i);
}
}
int main() {
/*
7
11
ABCDEFG
A,B
18
A,F
19
A,G
18
B,G
20
B,C
8
C,D
20
D,E
9
D,F
16
D,G
15
E,F
3
F,G
15
*/
ALGraph G;
int sum;
CSTree T;
G.kind = UDG;
CreateUDG_AL(&G);
sum = GetMSTByPrim(G, 0, &T);
printf("最小生成的权重和为:%d\n", sum);
PrintAsTree(T, 1);
return 0;
}