频域与时域之间的关系是:
时域离散——频域周期;
时域周期——频域离散;
对于连续时间信号
1.拉普拉斯变换:
X(s)=∫−∞∞x(t)estdt
对应的是s平面
2.傅里叶变换:
X(jw)=∫−∞∞x(t)ejwtdt
对应的是连续时间信号的频谱,因为
X(jw)=X(s)∣s=jw所以频谱与s平面的虚轴相对应
对于离散时间信号
3.z变换
X(z)=i=1∑N−1x(n)z−n
对应的是z平面
4.离散时间傅里叶变换(DTFT)
X(ejw)=i=1∑N−1x(n)e−jwn
是离散时间信号频谱因为
X(ejw)=X(z)∣z=ejw对应的是z平面的单位圆
5离散傅里叶变换(DFT)
X(k)=i=1∑N−1x(n)WNkn
时域上是将离散信号进行周期延拓,周期延拓后进行离散时间傅里叶变换
频域上是对频谱进行采样,将连续频谱离散化
X(k)=X(z)∣z=WN−k=e−jN2π=X(ejw)∣w=N2πk
对应的是z平面单位圆上等N分点
对应的是在频谱上做间隔为
wN=N2π的采样
z变换和拉普拉斯变换的关系:
令
z=est
s=σ+jΩ
z表达为
z=rejw
则
r=eσt
w=Ωt
可见,s平面左半平面对应z平面的单位圆内,s平面虚轴对应z平面的单位圆上。
以上是我对这些变化的理解,欢迎来交流。