原题链接： https://leetcode.com/problems/climbing-stairs/

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1. 题目描述

You are climbing a stair case. It takes n steps to reach to the top.

Each time you can either climb 1 or 2 steps. In how many distinct ways can you climb to the top?

Note: Given n will be a positive integer.

给出一个正整数 n，代表着楼梯的高度。每一次只能爬1个楼梯或者2个楼梯，求到达高度n时，有多少种不同的爬楼梯的走法？

Example 1:

Input: 2
Output: 2
Explanation: There are two ways to climb to the top.
1 . 1 step + 1 step
2 . 2 steps

Example 2:

Input: 3
Output: 3
Explanation: There are three ways to climb to the top.
1 . 1 step + 1 step + 1 step
2 . 1 step + 2 steps
3 . 2 steps + 1 step

2. 解题思路

2.1 动态规划法

这个题可以使用动态规划的思路来解决。
求解到达高度n时，可以有多少种走法，我们可以这样想，当到达高度 i 时，最后一步是如何走的呢？只有两种情况;

1. 从高度 i-2 一次走2步到达高度 i
2. 从高度 i-1 分两次走1步到达高度 i

那么到达高度 i-2 和高度 i-1的走法加起来就是到达高度 i 的走法了。
于是我们可以构造一个一维数组dp[ n ] ，dp[ i ] 代表到达高度 i+1 有多少种走法。

递推公式为：
$dp[ i ] = dp[ i-2 ] + dp[ i-1 ]$
需要给最前面的两个dp[ i ]赋初值，dp[0] = 1, dp[1] = 2.

实现代码

class Solution {
    public int climbStairs(int n) {
        if(n <= 2) {
        	return n;
        }
        
        int[] dp = new int[n];
        dp[0] = 1;
        dp[1] = 2;
        for(int i=2;i<n;i++) {
        	dp[i] = dp[i-2] + dp[i-1];
        }
        return dp[n-1];
    }
}

2.2 进一步改进：取消一维数组

仔细观察上述方法的实现代码，我们可以发现，每次更新dp[ i ]的时候，只用到了dp[ i-2 ]和dp[ i-1 ]的值，并没有用到dp数组的其他值。因此我们可以抛弃一维数组，只用两个变量存储dp[ i-2 ]和dp[ i-1 ]的值，然后使用第三个变量存储dp[ i ]的值。三个变量交替更新，可以代替一维数组。

实现代码

class Solution {
    public int climbStairs(int n) {
        if(n <= 2) {
        	return n;
        }
        
        int a = 1;
        int b = 2;
        int c;
        
        for(int i=2;i<n;i++) {
        	c = a + b;
        	a = b;
        	b = c;
        }
        return b;
    }
}