1 . 前置概念
1.1 线性规划向量形式
线性规划 向量形式 : 其中 矩阵
C , 矩阵
X , 矩阵
b 与上面的矩阵形式内容一致 , 本公式之比上个公式多了一个 向量
Pj ;
maxZ=CXs.t⎩⎪⎨⎪⎧∑j=1nPjxj=bxj≥0j=1,2,⋯,n
其中
j=1∑nPjxj=b
展开后是 :
P1x1+P2x2+⋯+Pnxn=b
其中的
Pj 为 :
Pj=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡a1ja2j⋮amj⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤
举例 对应的
P1 就是
P1=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡a11a21⋮am1⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤
对应的
Pn 就是
Pn=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡a1na2n⋮amn⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤
1.2 可行基概念
1 . 基的概念
系数矩阵 : 约束方程的 系数 可以组成一个
m×n 阶 矩阵 , 即
m 行 ,
n 列 , 代表 有
m 个约束方程 , 每个约束方程有
n 个变量 ;
基 :
- ① 矩阵秩 : 设
A 为上述
m×n 阶系数矩阵
(m<n) , 其秩 为
m ; ( 该矩阵的秩的最大取值是
min(m,n) )
- ② 满秩矩阵 : 矩阵
B 是矩阵
A 的
m 阶满秩子矩阵 , 其中
∣B∣=0 ,
B=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎡a11⋮am1⋯⋮⋯a1m⋮amm⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎤=(p1⋯pm)
- ③ 基引入 : 则称
B 是线性规划问题的 一个基 ;
2 . 基解概念
基解 :
- ① 确定基 : 确定一个基
B , 该矩阵是系数矩阵
A 的满秩子矩阵 , 即一个
m×m 阶矩阵 ;
- ② 处理非基变量 : 将非基变量 设置成
0 ;
- ③ 解出基解 : 将 基 代入约束方程 , 解出对应的变量值 , 即基解 ;
- ④ 基解个数 : 基解中变量取值 非
0 个数 , 小于等于 约束方程个数
m , 基解的总数 不超过
Cnm
3 . 可行基概念
基可行解 : 解出的基解 , 有一部分满足 变量的 非负 约束 , 即解大于等于
0 , 这些解称为基可行解 ;
可行基 : 基可行解 对应的基 , 称为 可行基 ;
详细的概念参考 : 【运筹学】线性规划问题的解 ( 可行解 | 可行域 | 最优解 | 秩的概念 | 极大线性无关组 | 向量秩 | 矩阵秩 | 基 | 基变量 | 非基变量 | 基解 | 基可行解 | 可行基 )
1.3 线性规划求解步骤
1 . 线性规划向量形式为 :
maxZ=CXs.t⎩⎪⎨⎪⎧∑j=1nPjxj=bxj≥0j=1,2,⋯,n
2 . 找可行基 : 使用单纯形法求解最优解的第一个步骤 , 就是找到一个可行基 ;
3 . 构造初始可行基方法 : 已知一个线性规划问题的标准数学模型 , 构造初始可行基的三种方法 :
- ① 观察 : 通过观察 , 直接从系数矩阵中发现一个可行基 , 即
m 阶方阵
∣B∣=0 ;
- ② 松弛变量法 : 如果约束方程是
≤ 约束 , 那么加入松弛变量 , 这些松弛变量的每个系数的列向量都是单位向量 ;
- ③ 人工变量法 : 如果约束方程式
≥ 约束 , 那么需要加入人工变量 ;
线性规划问题求解 , 第一步就是根据上面三种方法 , 构造出初始的可行基 ;
4 . 求线性规划最优解流程 : 先构造初始可行基 , 然后解出该解 , 判定是否是基可行解 , 如果是基可行解 , 那么判断该解是否是最优解 , 如是 , 那么该解就是最优解 , 如果不是 , 那么继续迭代 ;
5 . 这里就两个问题 : ① 如何判定该解是否是最优解 , ② 如何进行迭代 ;
2 . 构造初始可行基
2.1 构造初始可行基 并 解出基解
1 . 前提条件 : 先做一个假设 , 假设由一个线性规划问题 , 有
m 个约束方程 , 有
n 个决策变量 ,
x1,x2,⋯,xm ; 这
m 个约束方程都是
≤ 约束 ;
2 . 构造可行基方法 ( 添加松弛变量 ) : 给所有的约束方程 , 添加一个松弛变量 , 即需要添加
m 个松弛变量 ;
线性规划的约束方程为 : 该约束方程有
n−m 个决策变量 , 有
m 个约束不等式 ;
s.t⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧a11x1+a12x2+⋯+a1nxn−m≤b1a21x1+a22x2+⋯+a2nxn−m≤b2⋯⋯⋯am1x1+am2x2+⋯+amnxn−m≤bmx1,x2,⋯,xn−m≥0
由于是
≤ 约束 , 添加松弛变量 , 有
m 个不等式 , 需要添加
m 个松弛变量 ; 添加松弛变量后 ,
≤ 不等式变成 等式 :
s.t⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧x1⋯⋯⋯x1,x2,⋯,xn≥0x2+a1m+1xm+1+a1m+2xm+2+⋯+a1nxn=b1+a2m+1xm+1+a2m+2xm+2+⋯+a2nxn=b2xm+amm+1xm+1+amm+2xm+2+⋯+amnxn=bm
修改下标标号 : 上述式子将添加的松弛变量的下标修改成了
x1⋯xm , 上述公式中下标的次序可以修改 ;
3 . 构造初始可行基 : 该初始可行基 , 假设由 系数矩阵 前面的
m 个向量组成的 方阵 ; 该方阵是
x1⋯xm 变量的系数矩阵 ;
该
x1⋯xm 就是基变量 ; 该基变量的系数
(P1,⋯,Pm) 就是初始可行基 ;
基是在 线性规划 约束方程组 的系数矩阵 中 的一个
m 阶方阵 , 其行列式不等于
0 , 行列式不等于
0 的方阵最基本最简单的就是单位阵 , 为了讨论方便 , 假设该初始可行基是单位阵 ; 即构造以下初始可行基 :
B=[P1P2⋯Pm]=⎣⎢⎢⎢⎡10⋮001⋮0⋯⋯⋯00⋮1⎦⎥⎥⎥⎤
初始可行基 : 上述的松弛变量的系数矩阵 , 刚好构成一个
m×m 阶 的 单位阵 , 该单位阵是一个可行基 , 因为每个变量只添加一个松弛变量 , 其它
m−1 个不等式添加的对应松弛变量在本式子中 系数肯定是
0 ;
如在第一个约束方程中 , 添加了
x1 , 那么在第一个约束方程中 , 对应的
x2⋯xm 这
m−1 个变量的系数肯定是
0 ;
4 . 初始基可行解 :
X(0)=(x10,x20,⋯,xm0,0,⋯,0)T , 其中右上角的
0 表示这是第
0 次迭代 , 是初始基可行解 ;
3 . 基变换
3.1 基变换 概念
1 . 基变换 引入 : 如果初始可行基的基可行解不是最优解 , 那么就需要进行迭代 , 迭代 就是进行 基变换 ; 整个单纯形法的迭代就是不停的进行基变换 ;
2 . 基变换 概念 : 如果两个基可行解相邻 , 两者可以变换 , 并且只能变换一个基变量 ;
举例 : 基可行解对应的基变量是
x1,x2,x3,x4 , 将其中的某一个迭代出来 , 使用
x5 替换其中的某一个 ;
3.2 线性规划 向量形式 按照基变量 非基变量 进行拆解
1 . 解 基可行解 方法 : 令所有的非基变量等于
0 , 可以得到基解 , 因为是单位阵 , 因此基解的取值是各自右端的常数值
b1⋯bm ; 即
x1=b1,x2=b2,⋯,xm=bm , 这些值肯定大于
0 , 因此这些基解是基可行解 ;
2 . 初始基可行解 :
X(0)=(x10,x20,⋯,xm0,0,⋯,0)T , 其中右上角的
0 表示这是第
0 次迭代 , 是初始基可行解 ;
其中
x10 是对应基变量
x1 的解 ,
xm0 是对应基变量
xm 的解 ;
3 . 这是线性规划的向量形式 :
maxZ=CXs.t⎩⎪⎨⎪⎧∑j=1nPjxj=bxj≥0j=1,2,⋯,n
4 . 拆解约束方程 : 将上面的向量形式的 约束方程 ,
∑j=1nPjxj=b , 写成两部分 ;
- ① 前半部分 :
∑i=1mPixi , 由
x1⋯xm 基变量及其系数组成 ;
- ② 后半部分 :
∑j=m+1nPjxj 由
xm+1⋯xn 组成 ;
3.3 初始基可行解 代入 拆解后的 线性规划 约束方程中
1 . 拆解后 线性规划的 向量形式为 :
maxZ=CXs.t⎩⎪⎨⎪⎧∑i=1mPixi+∑j=m+1nPjxj=bxj≥0j=1,2,⋯,n
2 . 初始基可行解代入约束方程 : 将初始的基可行解
X(0)=(x10,x20,⋯,xm0,0,⋯,0)T 代入上述约束方程 ;
其中
x10 是对应基变量
x1 的解 ,
xm0 是对应基变量
xm 的解 ;
其中后半部分
∑j=m+1nPjxj 的变量是非基变量 , 都等于
0 , 其乘以系数后的结果也等于 0 , 因此有
j=m+1∑nPjxj=0
在约束方程中可以直接消去 ; 约束方程变成如下形式 , 得到 :
i=1∑mPixi0=b
3.4 系数矩阵的 增广矩阵 概念
1 . 线性规划 系数矩阵 的 增广矩阵 : 增广矩阵 就是 将 约束方程的右端项
b1 到
bm 常数 , 写到矩阵中 , 当做最右侧的向量 ;
2 . 下面是 线性规划标准形式的 约束方程 :
s.t⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧x1⋯⋯⋯x1,x2,⋯,xn≥0x2+a1m+1xm+1+a1m+2xm+2+⋯+a1nxn=b1+a2m+1xm+1+a2m+2xm+2+⋯+a2nxn=b2xm+amm+1xm+1+amm+2xm+2+⋯+amnxn=bm
3 . 增广矩阵是 :
⎣⎢⎢⎢⎡10⋮001⋮0⋯⋯⋯00⋮1a1,m+1a2,m+1⋮am,m+1⋯⋯⋯a1ja2j⋮amj⋯a1n⋯a2n⋮⋯amnb1b2⋮bm⎦⎥⎥⎥⎤
为该增广矩阵中的向量标号
P1 到
Pn 方便下面讨论 ;
4 . 增广矩阵的前
m 个向量 :
P1 到
Pm 是 基变量前的系数 , 基向量 , 也是 单位向量 :
⎣⎢⎢⎢⎡10⋮001⋮0⋯⋯⋯00⋮1⎦⎥⎥⎥⎤
5 . 增广矩阵的 第
m+1 到
n 个向量 :
Pm+1 到
Pn 是正常的列向量 , 写到 单位向量右侧 , 常数向量左侧 :
⎣⎢⎢⎢⎡a1,m+1a2,m+1⋮am,m+1⋯⋯⋮⋯a1ja2jamj⋯a1n⋯a2n⋮⋯amnb1b2⋮bm⎦⎥⎥⎥⎤
3.5 向量间的线性表达
6 . 向量之间的线性表达 : 使用
P1 到
Pm 单位向量 表达
Pj 向量 ;
n 维的单位向量可以表示任何
n 维向量 ;
表示公式 : 其中的
Pj 向量在下面有解释
Pj==a1jP1+a2jP2+a3jP3+⋯+amjPm∑i=1maijPi
a1jP1 计算 : 其中
a1j 是个常数 ,
P1 是个向量 , 运算方式就是 常数 乘以 向量中每个值 , 然后相加 ,
P1 中只有第一项是 1 , 其它项都是
0 , 因此结果是
a1j ;
P1 到
Pm 单位向量是 :
⎣⎢⎢⎢⎡10⋮001⋮0⋯⋯⋯00⋮1⎦⎥⎥⎥⎤
Pj 向量是 :
⎣⎢⎢⎢⎡a1ja2j⋮amj⎦⎥⎥⎥⎤
7 . 线性表达移项 :
将上述线性表达式结果进行移项 :
Pj==a1jP1+a2jP2+a3jP3+⋯+amjPm∑i=1maijPi
移项后结果 :
Pj−i=1∑maijPi=0
将上述式子左右两边乘以一个正数
θ :
θ(Pj−i=1∑maijPi)=0
3.6 将 向量线性表达结果 与 初始基可行解代入结果 结合
1 . 初始基可行解代入 拆解后的向量公式中 : 将线性规划 向量形式 根据 基向量 非基向量 进行拆解 , 并将初始基可行解代入到拆解后的约束方程中 , 结果是 :
i=1∑mPixi0=b
2 . 向量间线性表达最终结果是 :
θ(Pj−i=1∑maijPi)=0
3 . 向量线性表达结果 与 初始基可行解代入结果 结合 : 将 上述 二者结合这样我们得到了下面的方程组 :
⎩⎪⎨⎪⎧θ(Pj−∑i=1maijPi)=0∑i=1mPixi0=b
4 . 将方程组两边分别相加 并计算 :
θ(Pj−∑i=1maijPi)+∑i=1mPixi0θPj−θ∑i=1maijPi+∑i=1mPixi0∑i=1m(xi0−θaij)Pi+θPj===0+bbb
最终结果是 :
i=1∑m(xi0−θaij)Pi+θPj=b
3.7 分析初始的约束方程
上面得到式子 :
i=1∑m(xi0−θaij)Pi+θPj=b
该结果 正好是 满足 约束方程的 一个解 ; 初始的约束方程组为 :
j=1∑nPjxj=b
展开后为 :
P1x1+P2x2+⋯+Pjxj=b
都是
xj 取某些值 , 满足 让
∑j=1nPjxj 结果等于
b ;
只要满足让
Pj 乘以一个数 x_j , 将这些
Pjxj 相加 , 结果等于
b , 那么这些
xj 就是其中的一个解 ;
这个解如果都大于 0 , 那么这些解都是可行解 ;
3.8 分析 经过 方程组变换后的 式子 引入 变换后的 基可行解
1 . 向量形式分析 :
将 向量线性表达结果 与 初始基可行解代入结果 结合 经过各种变换后的 最终结果是 :
i=1∑m(xi0−θaij)Pi+θPj=b
由此发现 , 该形式 与 初始的线性规划向量形式的 约束方程 的 形式 几乎一致 :
j=1∑nPjxj=b
2 . 展开式分析 :
将上面的
i=1∑m(xi0−θaij)Pi+θPj=b
展开后为 :
(x10−θa1j)P1+(x20−θa2j)P2+⋯+(xi0−θaij)Pi+θPj=b
线性方程标准形式展开后的结果 :
P1x1+P2x2+⋯+Pjxj=b
3 . 关于解的说明 :
P1,P2,⋯,Pi,Pj 都是系数向量 , 前面乘以的数就是 对应的解 ;
∑i=1m(xi0−θaij)Pi+θPj 式子中
Pi 和
Pj 系数相乘的取值就是满足 约束方程
∑j=1nPjxj=b 的一个解 ;
即 :
系数向量
P1 对应的解是
(x10−θa1j) ;
系数向量
P2 对应的解是
(x20−θa2j) ;
⋮
系数向量
Pi 对应的解是
(xi0−θaij) ;
系数向量
Pj 对应的解是
θ ;
第一次迭代后的 解 为 :
X(1)=(x10−θa1j,x20−θa2j,⋯,xm0−θamj,0,⋯,θ,⋯,0)T
初始线性规划的基可行解为
X(0)=(x10,x20,⋯,xm0,0,⋯,0)T ;
3.9
θ 的取值分析
1 . 可行解的非负约束 : 线性规划 解出的基解 , 满足约束方程组的另外一个条件是 , 这一组解是基可行解 , 即这些解都要大于等于 0 , 要满足解的非负约束 ;
满足所有约束条件的解才是基可行解 , 约束条件除了满足约束方程约束外 , 还要满足变量的非负约束 ;
2 . 分析解 : 下面是第一次迭代出的解 , 如果下面的解都是可行解 , 则所有的解必须大于等于 0 ;
X(1)=(x10−θa1j,x20−θa2j,⋯,xm0−θamj,0,⋯,θ,⋯,0)T
上述解都必须大于等于
0 , 才是可行解 , 因此有下面的式子 :
xi0−θaij≥0xi0≥θaiji=1,2,⋯,m
因为
θ 是正数 , 可以在等式两边都除以
θ , 得到下面的表达式 :
aij≤θxi0
aij 要满足上面的条件 , 该解才是可行解 ;
3 .
aij 取值有两种情况 :
- ①
aij≤0 ;
- ②
aij>0 ;
下面会 根据
aij 的取值 , 分情况讨论
θ 取值 ;
4 .
aij≤0 的情况 :
如果
aij≤0 ,
aij≤θxi0 肯定成立 , 因为
xi0 和
θ 都是整数 , 两个数相除 , 肯定也是正数 , 正数肯定大于负数 ;
令
m 个约束不等式 至少有一个等号是成立的 , 当
aij≤0 时 , 式子
aij≤θxi0 肯定成立 ;
5 .
aij>0 时的情况 :
假设
aij,a2j,⋯,amj 中最小的是第
l 个 , 即
alj , 那么有下面的式子 :
θ=min⎩⎪⎨⎪⎧aijxi0∣aij>0⎭⎪⎬⎪⎫=aljxl0
令
θ 是
aijxi0 中最小的那个值 , 当
i=l 时 , 该值最小 ;
这样可以确保 :
- ① 当
xi0−θaij=0 时 ,
i=l ;
- ② 当
xi0−θaij≥0 时 ,
i=l ;
这个
θ 是单纯形法中最重要的 最小比值规则 ;
将上述
θ 代入初始的基解
X(1) 得到的就是可行解 : 下面的解都是可行解 ;
X(1)=(x10−θa1j,x20−θa2j,⋯,xm0−θamj,0,⋯,θ,⋯,0)T
3.10 验证基矩阵 及 初等行变换
1 . 判定解是否可行 : 上面的解是可行解 , 下面需要验证这些可行解对应的向量是否能组成一个基 , 即 判定这个解是否是基可行解 ;
2 . 向量替换 : 将第一次变换的
Pj 放到原基中 , 原来的初始基是单位阵 , 即
P1,P2,⋯,Pm , 将其中的
Pl 替换成
Pj , 已经验证过解出的解是可行解 , 现在要验证
Pj 向量替换
Pl 后 , 该矩阵是不是基矩阵 ;
3 . 判定基 : 新的矩阵的行列式值不等于
0 , 则说明该矩阵是基矩阵 , 因为除
Pj 外其余都是单位阵 , 显然该行列式不等于
0 , 该矩阵是基矩阵 ;
4 . 单位阵转换 : 该解作为迭代后的新的基可行解 , 为了方便下一步推导 , 我们希望对应的基向量都是单位向量 ; 这里需要使用矩阵的初等行变换 , 将其转为单位向量 ;
5 . 初等行变换 : 将
Pj 列 , 替换成单位列 ,
Pj 向量中 ,
alj 除以
alj , 变成
1 ,
4 . 最优性检验 和 解的判别
4.1 将 基可行解 代入方程
将上述 初始基可行解
X(0)=(x10,x20,⋯,xm0,0,⋯,0)T , 和 第一次迭代后的基可行解
X(1)=(x10−θa1j,x20−θa2j,⋯,xm0−θamj,0,⋯,θ,⋯,0)T , 分别代入约束方程的目标函数 :
maxZ=CX=j=1∑ncjxj
代入
X(0) , 因为只有前
m 项是非
0 的 , 后面的解都是
0 , 代入后的结果 :
Z(0)=i=1∑mcixi0
代入
X(1) , 只有前
m 项 , 和第
j 项的解是非
0 的 , 其余的解都是
0 , 前
m 项 解为
(xi0−θaij) 其中
(i=1,2,⋯,m) 代入后为
i=1∑mci(xi0−θaij)
第
j 项解为
θ , 代入后为
θcj ;
整体目标函数代入结果 :
Z(1)=i=1∑mci(xi0−θaij)+θcj
4.2 引入 检验数
1 . 合并同类项 :
在上面的
Z(1) 基础上 , 将其中的
∑i=1mcixi0 通过合并同类项 , 提取出来 :
Z(1)=i=1∑mci(xi0−θaij)+θcj
Z(1)=i=1∑mcixi0−i=1∑mciθaij+θcj
Z(1)=i=1∑mcixi0+θcj−i=1∑mciθaij
Z(1)=i=1∑mcixi0+θ(cj−i=1∑mciaij)
2 . 代入
Z(0) :
其中
Z(1)=∑i=1mcixi0 , 将
∑i=1mcixi0 使用
Z(0) 替换 , 得到 :
Z(1)=Z(0)+θ(cj−i=1∑mciaij)
3 . 引入检验数 :
分析下面的式子 :
Z(1)=Z(0)+θ(cj−i=1∑mciaij)
-
① 分析差距 :
X(1) 对应的目标函数值
Z(1) , 与
X(0) 对应的目标函数值
Z(0) , 其唯一的差距就是
θ(cj−∑i=1mciaij) 值 ,
θ 是正数 ;
-
② 目标函数增大趋势 : 如果后面的这部分
(cj−∑i=1mciaij) 大于
0 , 说明目标函数值是增大的 , 即目标函数值还有增大的可能性 ;
-
③ 目标函数减小趋势 : 如果后面的这部分
(cj−∑i=1mciaij) 小于
0 , 说明迭代后目标函数值会变小 , 那么当前函数的值就是最优解 ;
检验数引入 : 下面的值非常重要 , 称为 “检验数” , 用于判断当前基可行解是否最优的检验数 , 记为符号
σj :
σj=cj−i=1∑mciaij
4.3 解判别的方法
1 . 之前推导的内容 :
迭代前的解 :
Z(0)=i=1∑mcixi0
迭代后的解 :
Z(1)=Z(0)+θ(cj−i=1∑mciaij)
将后者减去前者 , 得到一个检验数
σj :
σj=cj−i=1∑mciaij
2 . 最优解 : 当所有的非基变量检验数
σj≤0 时 , 即 任何 基变换 后的目标函数
Z(1) , 其都是
Z(0) 与一个小于等于
0 的数之和 , 任何基变换都会导致目标函数值减小 , 该解
Z(0) 对应的的目标函数值是最大值 , 该解是最优解 ;
3 . 无穷多最优解 : 当所有的非基变量检验数
σj≤0 时 , 其中有非基变量
xj 的检验数
σj=0 , 那么说明有两个点可以使目标函数达到最大值 , 这两个点之间的连线都是最优解 , 这种情况下有无穷多最优解 ;
4 . 唯一最优解 : 当所有的非基变量检验数
σj<0 时 , 当前解是最优解 ;
5 . 无界解 : 如果存在某个非基变量的检验数
σj>0 , 而该非基变量对应的非基向量
Pj≤0 , 则该线性规划有无界解 ;
-
① 分析检验数 与
Pj : 如果
Pj≤0 , 那么 该向量中所有的数
aij (
i=1,2,⋯,m ) 都是小于等于
0 的 , 此时检验数
σj=cj−i=1∑mciaij 此时
σj变成正数 ;
-
② 分析
Z(1) 目标函数值 :
Z(1)=i=1∑mci(xi0−θaij)+θcj
如果
aij (
i=1,2,⋯,m ) 都是小于等于
0 的 ,
xi0−θaij 值肯定大于
0 ,
θ 取任意大的值 , 都符合要求 , 此时目标函数
Z(1) 值会无限大 ;
4.4 线性规划解判别定理
1 . 最优解判别定理 :
- ① 条件 1 : 若
X(0)=(b1′,b2′,⋯,bm′,0,⋯,0)T 为基可行解 ;
- ② 条件 2 : 并且全部的检验数
σj≤0 ,
j=m+1,⋯,n ;
- ③ 结论 : 此时的
X(0)=(b1′,b2′,⋯,bm′,0,⋯,0)T 是 最优解 ;
2 . 唯一最优解判别定理 :
- ① 条件 1 : 若
X(0)=(b1′,b2′,⋯,bm′,0,⋯,0)T 为基可行解 ;
- ② 条件 2 : 并且全部的检验数
σj<0 ,
j=m+1,⋯,n ;
- ③ 结论 : 此时的
X(0)=(b1′,b2′,⋯,bm′,0,⋯,0)T 是 唯一最优解 ;
3 . 无穷多最优解判别定理 :
- ① 条件 1 : 若
X(0)=(b1′,b2′,⋯,bm′,0,⋯,0)T 为基可行解 ;
- ② 条件 2 : 并且全部的检验数
σj≤0 ,
j=m+1,⋯,n ;
- ③ 条件 3 : 存在一个 非基变量
xm+k 的检验数
σm+k=0 ;
- ④ 结论 : 此时的
X(0)=(b1′,b2′,⋯,bm′,0,⋯,0)T 是 唯一最优解 ;
如果两个顶点都能取得最优值 , 那么两个顶点之间的连线 ( 有无穷多个点 ) 肯定也能取得最优值 ;
4. 无界解判别定理 :
- ① 条件 1 : 若 存在一个 非基变量
xm+k 的 检验数
σm+k>0 ;
- ② 条件 2 : 其对应的非基变量的所有系数
ai,m+k≤0 ,
i=1,2,⋯,m ;
- ③ 结论 : 此时的 线性规划 具有无界解 ;