I . 基矩阵 B
线性规划标准形式 , 约束方程的系数矩阵是
A , 如下 :
A=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡a11a21⋮am1a12a22⋮am2⋯⋯⋱⋯a1na2n⋮amn⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤
该矩阵
A 是
m×n 阶矩阵 , 有
m 行 ,
n 列 , 代表
m 个约束方程 ,
n 个变量 , 并且
n>m ;
基矩阵
B :
- ① 满秩子矩阵 : 矩阵
A 的 满秩子矩阵
B , 矩阵
B 的秩是
m ;
- ② 列向量线性无关 : 该矩阵中的 列向量 线性无关 , 即 每一列不能通过 乘以系数 加减的方式得到另外一列列向量 ,
- ③ 基矩阵
B : 这样的 系数矩阵
A 的
m×m 阶满秩矩阵
B 就是基矩阵 ;
B=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡a11a21⋮am1a12a22⋮am2⋯⋯⋱⋯a1ma2m⋮amm⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤=[P1P2⋯Pm]
II . 基向量
Pj
基向量 :
- ① 概念 : 基矩阵
B 中的每个列向量 , 都是一个 基向量 , 记作
Pj , 其中
j=1,2,⋯,m ;
- ② 基向量个数 : 每个基矩阵中有
m 个列向量 ;
III . 基变量
基变量 : 每个基向量都对应一个变量 , 基向量是列向量 , 该列向量是
xj 变量的系数组成 , 这个对应的
xj 变量就是基变量 ;
IV . 非基矩阵
N
非基矩阵
N : 确定一个基矩阵 , 剩下的列向量就是 非基向量 , 这些非基向量 组成 非基矩阵
N ;
N=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡a1m+1a2m+1⋮amm+1a1m+2a2m+2⋮amm+2⋯⋯⋱⋯a1na2n⋮amn⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤=[Pm+1Pm+2⋯Pn]
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V . 系数矩阵分块形式
A=(BN)
系数矩阵
A , 可以写成分块形式 :
A=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡a11a21⋮am1a12a22⋮am2⋯⋯⋱⋯a1na2n⋮amn⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤=[BN]
VI . 基变量向量
XB 非基变量向量
XN 及 分块形式
基变量向量
XB :
XB=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡x1x2⋮xm⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤
非基变量向量
XN :
XB=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡xm+1xm+2⋮xn⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤
向量
X 可以写成
XB 和
XN 分块形式 :
X=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡x1x2⋮xn⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤=⎣⎢⎢⎢⎢⎡xBxN⎦⎥⎥⎥⎥⎤
VII . 分块形式的计算公式
矩阵分块形式方程代入 : 约束方程组
AX=b ;
b 是大于
0 的常数组成的向量 ;
将上述分块形式的 矩阵
A 和 矩阵
X 代入 上述
AX=b 公式 ;
A=[BN]
X=⎣⎢⎢⎢⎢⎡XBXN⎦⎥⎥⎥⎥⎤
得到
[BN]×⎣⎢⎢⎢⎢⎡XBXN⎦⎥⎥⎥⎥⎤=b
BXB+NXN=b
VIII . 逆矩阵
逆矩阵 : 其中矩阵
B 是满秩的
m×m 阶矩阵 , 该矩阵是可逆的 ( 非奇异矩阵 ) , 必定存在一个
B−1 , 使得
B×B−1=E
单位矩阵 : 这里的 矩阵
E 是单位矩阵 , 即 左上角到右下角 对角线 上 的元素 为
1 , 其它元素为
0 ;
主对角线 : 左上角 到 右下角 的对角线称为 主对角线 ;
单位矩阵 示例 如下 :
E=⎣⎢⎢⎢⎢⎡100010001⎦⎥⎥⎥⎥⎤
IX . 解基变量
解基变量 :
BXB+NXN=b
将
NXN 提到公式右边 :
BXB=b−NXN
公式两边乘以
B−1 :
BXB×B−1=(b−NXN)×B−1
XB=B−1b−B−1NXN
X . 基解
引入基解 : 令非基变量
XN 中所有变量为
0 , 此时上述公式为 :
XB=B−1b
约束方程的解为
X=⎣⎡XB0⎦⎤=⎣⎡B−1b0⎦⎤
上述解为基解 , 矩阵
B 是满秩的 , 其秩为
m , 将非基变量赋值
0 , 剩余的
m 个变量 ,
m 个等式 , 必能解出一组唯一解 ; 即
j=1∑mpjxj=b
方程组有唯一解
XB=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡x1x2⋮xm⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤
该解
XB 是线性规划的一个基解 ;
XI . 基可行解
基可行解 : 如果上述解出的基解
XB , 满足线性规划数学模型 标准形式 的变量非负约束 , 即所有的变量都大于等于
0 , 该解称为基可行解 ;
并不是所有的基解都是基可行解 , 只有部分基解是基可行解 ;