秩-零化度定理 告诉我们:
m×n 阶矩阵
A 的零空间(Nullspace)
N(A) 和列空间(Column sapce)
C(A) 的关系:
n=dimN(A)+dimC(A)
本次依据秩-零化度定理
, 介绍四个基本空间
, 并证明它们的正交性
关系, 最后, 给出一道经典例题
.
四个基本空间
将矩阵
A 行列互换, 称为
A 的转置, 记为
AT. 则对应的:
C(AT) 表示
A 的行空间(Row space), 对应地将
N(AT) 称为
A 的左零空间(Left nullspace).
首先, 因为行秩 = 列秩
, 所以
n=dimN(A)+dimC(AT)
然后, 转置
并参考秩-零化度定理
m=dimN(AT)+dimC(A)
综上, 对于
m×n 阶矩阵
A 有:
空间 |
符号 |
矩阵含义 |
空间维数 |
向量维数 |
行空间(Row Space) |
C(AT) |
ATy |
r |
n |
列空间(Column Space) |
C(A) |
Ax |
r |
m |
零空间(Nullspace) 或核空间(Kernel Space) |
N(A) |
Ax=0 |
n−r |
n |
左零空间(Left Nullspace) |
N(AT) |
ATy=0 |
m−r |
m |
正交关系
实际上, 行空间和零空间在
Rn 中是直和
关系, 相应的, 列空间和左零空间在
Rm 中是直和
关系, 如下图所示
下面, 证明这两个直和(正交)关系
简要证明
-
Rn=C(AT)⊕N(A)
- 对
∀x1∈C(AT),∀x2∈N(A), 成立
x=x1+x2∈Rn
- 假设
x∈C(AT)∩N(A), 即
{Ax=0ATy=x∀x∈N(A)∃y∈C(AT)
联立即得
AATy=0
左右同乘
yT
yTAATy=(ATy)TATy=0
得到
x=ATy=0
即
C(AT)∩N(A)={0}
结论得证.
-
Rm=C(A)⊕N(AT)
记
B=AT, 利用证明 1
Rm=C(BT)⊕N(B)
将
BT=(AT)T=A 带入上式, 即证.
经典例题
假设存在
m×n 阶矩阵
A, 给定一个向量
b∈Rm, 且已知
Ax=b 有解. 试证
- 存在唯一
y∈C(AT), 使得
Ay=b 成立.
- 所有解中, 行空间
C(AT) 中的解
y 的长度最小.
- 假设
A 行满秩(
rank(A)=m), 求
y∈C(AT) (用
A,b 表示)
证:
-
- 存在性
假设
x∈Rn 满足
Ax=b, 因为
C(AT) 和
N(A) 是直和关系, 所以
x 可唯一
地分解为
x=y+z
其中,
y∈C(AT),z∈N(A), 那么
Ax=A(y+z)=Ay+Az=Ay=b
成立.
- 唯一性
假设
y′∈C(AT), 也满足
Ay′=b. 则
Ay−Ay′=A(y−y′)=0
即
y−y′∈N(A), 又因为
y−y′∈C(AT), 所以
y−y′=0
即
y=y′.
-
联系问 1, 解
x=y+z, 其中
y∈C(AT),z∈N(A). 因为二者正交
, 所以
∥x∥2=(y+z)T(y+z)=∥y∥2+∥z∥2≥∥y∥2
z=0 时, 等号成立.
-
因为
y∈C(AT), 则
y 可表示为
y=ATx.则
Ay=AATx=b
若
AAT 满秩, 则
x=(AAT)−1b
可得到
y=AT(AAT)−1b
下面证明
rankA=rankAAT, 只需证明
{Ax=0ATAx=0
同解. 显然,
Ax=0⟹ATAx=0.
若满足
ATAx=0, 左右同乘
xT
xTATAx=(Ax)TAx=0
即得
Ax=0. 所以
rankA=rankATA=rankAAT.
总结
从空间的角度理解线代才是掌握线代的不二法门.
矩阵的四个基本空间是很重要的概念, 可以帮助我们从空间
的角度理解线性方程组
解的结构, 甚至是最小二乘法
.
由于篇幅原因, 下次介绍最小二乘法
(
ATAx=ATb).
原文链接: 矩阵的四个基本空间, 不了解下吗?