前言： 上次学习汇编语言(清华大学 张悠慧)是在11月26日，内容是IEEE 754(浮点数表示)。当时撇下了一道题，等度过了12月(英语六级+本科阶段的最后考试+最后的大作业)再把汇编捡起来。现在正是把这个题目捡起来的时候。

11月26日的学习笔记：点击这里进入CSDN链接

题目

给定一个浮点格式(IEEE 754)，有k位指数和n位小数，对于下列数，写出阶码E、尾数M、小数f和值V的公式。另外，请描述其位表示。

• 数5.0；
• 能够被准确描述的最大奇数；
• 最小的正规格化数。

解决

前置知识一：IEEE 754

IEEE 754约定，计算机中浮点数二进制表示为：

数字形式： $(-1)^s M 2^E$

• 符号：s
• 尾数：M，是一个位于区间[1.0, 2.0)内的小数
• 阶码：E

编码形式：

exp域：E（注意，E要进行变换，再存储在exp中）；
frac域：M。

前置知识二：规格化浮点数（Normalized）

这里讨论到规格化浮点数（Normalized）：

• 满足条件：exp不全为0且不全为1。
• 真实的阶码值需要减去一个偏置（biased）量：
• • E = Exp - Bias
• • Exp：exp域所表示的无符号数值
• • Bias的取值：
• • • 单精度数：127（Exp：1…254，E：-126…127）
• • • 双精度数：1023（Exp：1…2046，E：-1022…1023）
• • • Bias = 2^{e-1} - 1，e = exp的域的位数
• frac的第一位隐含1：M = 1.xxx…x_2
• • 因此第一位的“1”可以省去，xxx…x：bits of frac
• • Minimum when 000…0 (M = 1.0)
• • Maximum when 111…1 (M = 2.0 - \epsilon)

前置工作一：整理变量关系

$Bias = 2^{k-1} - 1$

$E = exp - Bias$

$V = (-1)^s M 2^E$

E最大值为 $2^k - 1 - (2^{k-1} - 1) = 2^{k-1}$。

前置工作二：总结特性

抛开例题，来看一个例子：

• 8位浮点数表示：exp域宽度为4 bits，frac域宽度为3 bits。则，其偏置量的值为2^(4-1) - 1 = 7.
• 其他规则符合IEEE 754规范。

取值范围如下表。

可以看出，若frac有n位，则M可视为 $1+\frac{1}{2^n} \times C$；

其中，C是整数，由frac决定，即 $C=oct(\text{frac})$；

并且C满足 $0 \le C \le 2^n - 1$。

默认V为正数（即s=0），则可将V表示为：

$V=(1+\frac{1}{2^n} \times C) \times 2^E = 2^E + 2^{E-n} \times C$

解决问题一：数0.5

较为简单，直接解决如下。

5.0			// 转换为二进制 ==>
101			// 进位，直到取最左1 ==>
M 	= 1.01	// 此时，E = 2
frac= 01 0*	// 共n位
exp	= E + Bias
	= 2 + (2^(k-1) - 1)

则，位的描述为：

解决问题二：能够被准确描述的最大奇数

根据前置工作二，进行思考。现在的任务有两个：

• 不能有小数（C为小数，则E不可以大于n）；
• 是奇数（ $2^E$是奇数则过于浪费，因此使 $2^{E-n} \times C$为奇数）。

下面分类讨论：

情况一：E可以取到n时，

即 $2^{k-1} \ge n$时，

E取n，C取其能取的最大奇数，即1* 01(保证最右两位是01, 其他位为1)。

情况二：E*取不到n时，

即 $2^{k-1} \le n$时（不太可能），

E取最大即 $2^{k-1}$，而C取 $2^{n-E}$（为了约掉后一项小数）。

解决问题三：最小的正规格化数

承接上文，认为exp为0* 1，frac为0*。

E取最小，即 $exp_{min} - Bias = 2^0 - (2^{k-1} - 1)$。

十进制即为 $1 \times 2^{(2^0 - (2^{k-1} - 1))} = 2^{2 - 2^{k-1}}$。

总结

没有找到标准答案，特性与问题是我自己总结的。如果有错误与问题，欢迎通过[email protected]与我交流讨论。

另，12月确实太忙了，差点失去常规的学习状态，接下来可要复出咯！