关于 《Location-Aided mMIMO Channel Tracking and Hybrid Beamforming for High-Speed Railway Communications: An Angle-Domain Approach》一文的中文笔记。

简介

问题背景

本文针对的是未来毫米波系统下，高速铁路 high-speed railways (HSRs) 的通信。由于中国高铁的飞速发展，本文的目标场景无疑具有现实意义，相比于普通无线通信系统，高铁通信主要会有以下两个挑战：

• 轨道上的架空电线杆等物体会周期性地阻塞直射路径（LOS），这会引起信道的不断变化，也就意味着更短的相干时间。
• 高速的列车运动同样会带来不可忽略的多普勒频移，从而导致了额外的载波间干扰 (ICI).

In contrast to urban cellular systems, many challenging problems exist inHSRscenarios. The electromagnetic shielding from the carriage results in a strong penetration loss of signals, and it is difficult to build a direct link between the base station (BS) and users [12], [13]. The overhead line poles along the rail periodically block the line-of-sight (LoS) path and act as a static and periodic scatters [14]. The high mobility of trains not only results in a sharp decrease in coherence time (CT) but also leads to a nonnegligible Doppler shift, which causes intercarrier interference (ICI) and serious performance loss.

高速通信带来了更快变化的信道，因此也大大增加了信道估计的压力。不过另一方面，观测发现，信道的角度扩展较小，且能量集中在LOS路径上，NLOS径的能量可忽略不计，这应当成为针对性算法设计需要利用的特点。本文就是针对该信道的特殊性提出了对应的信道估计和波束成形算法。

文章贡献

本文贡献：

• 通过FFT来快速获取AOA信息， 并通过波束校准来补偿由多普勒频移带来的DFO。
• 用卡尔曼滤波器 (KF-filter)来自适应信道的时变
• 提出了一种低复杂度的hybrid beamforming算法。

1. An AD beam alignment method is applied to acquire a precise AOA, which can be obtained by applying a fast Fourier transform (FFT) and phase rotation. By utilizing beam alignment, DFO can be directly compensated. 2) Based on temporal coherence, a KF-based multipath channel tracking scheme is proposed, which is self-adaptive to CSI variance. The tracking scheme is further expanded to the AD to significantly decrease the pilot overhead and computational complexity. 3) In the data transmission phase, a hybrid beamforming scheme is proposed to compress the channel dimension and keep low complexity, which is composed of DFO compensation, angular beamforming, and BD precoding. Compared with the linear method, the hybrid beamforming scheme requires considerably less computations while retaining high throughput.

系统模型

文章考虑了上图所示的模型：由于动车车厢的电磁屏蔽，在基站和用户之间有 $K$个终端设备组成了一个两跳链路 (two-hop link): 基站->终端设备->用户。其中基站是ULA排列的M跟天线，而终端设备是一根天线。本文聚焦于如何做好基站->终端这一步骤的通信。第 $k$个终端在 $n$时刻到基站的信道 (维度为 $1\times M$) 可以表示为： (多普勒频移为 $f_D$）
$\mathbf{h}_{k, n, f_{D}}=e^{j \phi_{n}} \sum_{l=1}^{L} e^{j \phi_{f_{D, l, n}}} \cdot \psi_{l} \alpha_{k, l, n} \mathbf{a}\left(\theta_{k, l, n}\right) \odot \mathbf{b}_{k, l, n}$

参数如下：

• $\phi_{n}$: the phase caused by the carrier frequency.
• $\phi_{f_{D}, l, n}$: 由多普勒频移引起的相位偏移绝对量. absolute phase offset resulting from Doppler shift. 其中 $\phi_{f_{D, l, n}}=2 \pi f_{D, l, n} n T$， $T$是一个相干时间的长度。多普勒频移为 $f_{D, l, n}=\frac{v}{\lambda} \cos \left(\theta_{k, l, n}\right)$， $v$代表动车速度。 $\theta k, l, n$代表了第 $l$条路径的AOA角度，图中有画出。
• $\psi_{l}$代表权重系数（LOS和NLOS的比重不同）: $l$=1代表LOS路径， $\mathcal{K}$代表
  $\psi_{l}=\left\{\begin{array}{ll}{\sqrt{\frac{\kappa}{\kappa+1}},} & {l=1} \\ {\sqrt{\frac{1}{(\mathcal{K}+1)(L-1)}},} & {l \geq 2}\end{array}\right.$
• $\alpha_{k, l, n}$： $l$径的信道路径增益，服从0均值高斯分布
• $\mathbf{a}\left(\theta_{k, l, n}\right)=\left[1, e^{j 2 \pi \frac{d}{\lambda} \cos \left(\theta_{k, l, n}\right)}, \ldots, e^{j 2 \pi(M-1) \frac{d}{\lambda} \cos \left(\theta_{k, l, n}\right)}\right]$
• $\mathbf{b}_{k, l, n}$： 相对多普勒频移， $\left[1, e^{j 2 \pi f_{D, l} t}, \cdots, e^{j 2 \pi(M-1) f_{D, l} t}\right]^{T}$， $t=\frac{d \cos \left(\theta_{k, l, n}\right)}{c}$， 代表由于不同天线到同一终端的距离差引起的传播时间差异， $d$代表天线间隔。

作者多次强调，该信道模型中LOS占了主导地位，NLOS许多时候可以忽略来简化模型:

多普勒频移补偿和波束分配

我们首先看刚刚那个式子，发现其实可以进行化简：
$\mathbf{h}_{k, n, f_{D}}=\sum_{l=1}^{L} e^{j\left(\phi_{n}+\phi_{f_{D}, l, n}\right)} \cdot \psi_{l} \alpha_{k, l, n} \mathbf{a}^{\prime}\left(s_{l, n}\right)$
其中：
$s_{l, n}=\frac{d}{\lambda}\left(1+\frac{v}{c} \cos \left(\theta_{k, l, n}\right)\right) \cos \left(\theta_{k, l, n}\right), \mathbf{a}^{\prime}\left(x\right)=\left[1, e^{j 2 \pi x}, \ldots, e^{j 2 \pi(M-1)x}\right]$.

这样表示的目的是为了，我们可以令 $\cos \left(\theta^{\prime}_{k, l, n}\right)=\left(1+\frac{v}{c} \cos \left(\theta_{k, l, n}\right)\right) \cos \left(\theta_{k, l, n}\right)$， 从而得到 $\theta_{k, l, n}$ 与 $\theta^{\prime} _{k, l, n}$ 的关系。其实我觉得更好的表示形式可以这样来：
$\mathbf{h}_{k, n, f_{D}}=\sum_{l=1}^{L} e^{j\left(\phi_{n}+\phi_{f_{D}, l, n}\right)} \cdot \psi_{l} \alpha_{k, l, n} \mathbf{a}\left(\theta^{\prime} _{k, l, n}\right)$,
其中， $\theta^{\prime}_{k, l, n}=\mathrm{arccos} \left(\left(1+\frac{v}{c} \cos \left(\theta_{k, l, n}\right)\right) \cos \left(\theta_{k, l, n}\right)\right)$. 也不需要独立地再定义一个 $\mathbf{a}^{\prime}$函数了。

上述的推导的具体意义是，在列车静止的情况下，信道中的steering vector $\mathbf{a}(\theta)$中的角度就准确对应于 $\theta_{k, l, n}$.而在列车高速运动时，其带来的多普勒频移我们可以等效地看称steering vector $\mathbf{a}(\theta)$中的角度变成了 $\theta^{\prime}_{k, l, n}$. （文中称为 actual AOA） 可以容易得到， 速度越快， 两个角度的差值越大。

通过模拟波束成形补偿多普勒频移

根据上节的分析，运动中高铁带有多普勒频移的到达角可以等效为没有相对多普勒频移（绝对多普勒频移还存在）的实际到达角 $\theta^{\prime}_{k, l, n}$。
因此：

• 由于绝对多普勒频移是固定值，可以简单的用偏转量的共轭值补偿。
  $\mathbf{\Phi}_{n, u}=\operatorname{diag}\left(e^{j \phi_{f_{D_{1}, 1, n}}, \ldots, e^{j \phi_{f_{D_{K}, 1, n}}}}\right)$
• 把相对多普勒频移等效为到达角的偏移量， 就可以通过对实际到达角进行波束成形，从而无形中补偿了相对多普勒频移，下面就对此进行展开。
• 如前所述，本节中作者只考虑LOS信道来简化操作，即只靠虑 $l=1$径。

通过傅里叶变换获取信道能量角度域分布

首先回顾下之前的steer vector函数：
$\mathbf{a}\left(\theta\right)=\left[1, e^{j 2 \pi \frac{d}{\lambda} \cos \left(\theta\right)}, \ldots, e^{j 2 \pi(M-1) \frac{d}{\lambda} \cos \left(\theta\right)}\right]$,
而信道 $\mathbf{h}$（忽略了NLOS径后），其实就是一堆标量乘以一个 $\mathbf{a}\left(\theta_0\right)$的向量，我称之为信道能量集中在角度 $\theta_0$上，这也是我们想要通过波束成形来对准的传输方向。 $\mathrm{abs}(\mathbf{a}(\theta)^H\mathbf{h})$的值则可以看做是该信道在不同角度 $\theta$上的能量分布值。比如当 $\theta=\theta_0$时， 能量达到最大值。

因此，我们的目的是找到将相对多普勒频移等效为到达角偏转的信道所对应的真实到达角.

令接收到的导频信号为：
$\mathbf{y}_{k, n}=\mathbf{h}_{k, n, f_{D}} \mathbf{x}_{k}+\mathbf{n}_{\mathbf{k}, \mathbf{n}}$
我们波束成形的目的是使 $|\mathbf{w}^H\mathbf{y}_{k, n}|$的值最大，即最大化信噪比（ $\mathbf{w}$归一）。考虑到相移器带来的实际限制， $\mathbf{w}$的每个元素的模为1，因此一种简单的方法就是寻找到一个合适的 $\mathbf{a}(\theta)$作为 $\mathbf{w}$，那么一种方式就是遍历 $-\pi<\theta<\pi$之间的角度值，然后取其最大值。简便的，我们可以直接使用傅里叶变换矩阵来达到这一结果，令：
$\mathbf{F}=\frac{1}{\sqrt{M}}\left[\begin{array}{cccc}{1} & {1} & {\cdots} & {1} \\ {1} & {e^{-j 2 \pi \Delta f}} & {\dots} & {e^{-j 2 \pi(M-1) \Delta f}} \\ {\vdots} & {\vdots} & {\vdots} & {\vdots} \\ {1} & {e^{-j 2 \pi(M-1) \Delta f}} & {\dots} & {e^{-j 2 \pi(M-1)^{2} \Delta f}}\end{array}\right]$
为傅里叶变换矩阵，其中 $\Delta f=\frac{1}{M}$可以看做分辨率。 注意， ** $\mathbf{F}$的第 $i$行刚好就是 $\mathbf{a}(\theta_i)^H$，其中 $\theta_i=arccos(2i\Delta f)$ (若 $2i\Delta f>1$则-2,相当于把 $0到2\pi$之间的角度按余弦值平均分。

令：
$\tilde{\mathbf{h}}_{k, n, f_{D}}=\mathbf{F} \hat{\mathbf{h}}_{k, n, f_{D}}$
显然有， $M \times 1$的向量 $\tilde{\mathbf{h}}_{k, n, f_{D}}$的每个元素代表了信道在各个 $\theta_i$的能量分布。这样，很容易就可以通过傅里叶变换矩阵得到一个大致的能量分布结果。但是，如果要找到更精确的角度，就需要进行微调，这里作者引入了一个:
$\mathbf{O}\left(\phi_{k, n, u}\right)=\operatorname{diag}\left(1, e^{j \phi_{k, n, u}}, \ldots, e^{j(M-1) \phi_{k, n, u}}\right)$
并令：
$\tilde{\mathbf{h}}_{k, n, f_{D}}^{r}=\mathbf{F} \mathbf{O}\left(\phi_{k, n, u}\right) \hat{\mathbf{h}}_{k, n, f_{D}}$
然后通过 $\phi_{k, n, u}^{0}=\underset{\phi_{k, n, u}}{\arg \max } \tilde{\mathbf{h}}_{k, n, f_{D}}^{r \max }$
求得最好的旋转角度 $\phi_{k, n, u}^{0}$. 这里的物理意义其实非常简单：FFT矩阵只能得到量化的M个角度中最好的那一个，当信道的角度不是刚好对准离散的点的时候，就需要用 $\phi_{k, n, u}^{0}$来微调. 最后 $\mathbf{F} \mathbf{O}$一起作为波束成形矩阵。

基于上述分析，很容易有下面的结论：

• 使用过采样傅里叶变换，如做NM点傅里叶变换，可以得到更高的角度分辨率。比如我们发现 $\tilde{\mathbf{h}}_{k, n, f_{D}}^{r}$的第i个元素最大，那么就对其周围进行过采样FFT，从而提升精度，得到 $\phi_{k, n, u}^{0}$ (不是全局最优，但是比只用FFT矩阵精度更高）。
• 通过和差化积等推导，可以得到:
  $\frac{2 \pi\left(i_{k}-1\right)}{M}-2 \pi s_{1, n}-\phi_{k, n, u}^{0}=0$
  其中 $\phi_{k, n, u}^{0}$ 可以由收到的训练序列求最大值得到，代入可以求得 $s_{1, n}$，从而求得到达角信息，相当于做好了信道估计。具体推导过程可参阅论文。

用卡尔曼滤波来追踪信道时变

这一节，作者讲述使用卡尔曼滤波方法来追踪信道的时变性。 由于相邻几个相干时间内的信道存在相关性，因此往往可以通过现在时刻的信道信息预测下一时刻的信道信息，显然这样会有误差。与此同时，也可以使用训练导频来估计下一时刻的信道，当然这样也有估计误差。因此，使用卡尔曼滤波器对预测值和实测值进行综合考虑，得到更准确的信道信息。

正如前一节所述，由于我们用波束成形对多普勒频移进行了补偿，因此信道可以等效为如下没有多普勒频移的情况，从而更加简洁些：
$\mathbf{h}_{k, n}=\sum_{l=1}^{L} \psi_{l} \alpha_{k, l, n} \mathbf{a}\left(\theta_{k, l, n}^{\prime}\right)$
显然，看下标就知道，时变信道的时变性来自于这两个参数: $\alpha_{k, l, n}$ 和 $\theta_{k, l, n}^{\prime}$，即信道增益和等效到达角。

AOA到达角

首先分析到达角的相关。上图展示了，随着列车运动， $\theta_{k, l, n}^{\prime}$的变化 。需要注意的是，由于分辨力有限，相邻 $N_m$个相干时间内的 $\theta_{k, l, n}^{\prime}$可以认为是不变的。从作者的推导中，他认为最小的分辨力是 $\Delta \theta_{k, l, n}^{\prime}=\pi \Delta f$（此处我感觉有些小问题，不过不影响算法大局）。那么根据上图几何分析一下，容易得到：
$\tan \left(\theta^{\prime}_{k, 1, n}+\pi \Delta f\right)=d_{0} /\left(d_{m}-v N_{m} T\right)$
其中 $N_m$代表在 $N_m$个相干时间内的 $\theta_{k, l, n}^{\prime}$可以认为是不变的。可以求得：
$N_{m}=\left\{\begin{array}{c}{\frac{1}{v T}\left(d_{m}-\frac{d_{0}}{\tan \left(\theta^{\prime} k, n+\pi \Delta f\right)}\right), \theta^{\prime}_{k, 1, n} \in\left(\theta_{1}, \frac{\pi}{2}\right]} \\ {\frac{1}{v T}\left(\frac{d_{0}}{\tan \left(\pi-\theta^{\prime} k_{1, n}-\pi \Delta f\right)}-d_{m}\right), \theta_{k, 1, n}^{\prime} \in\left(\frac{\pi}{2}, \theta_{2}\right)}\end{array}\right.$
作者将每 $N_m$个角度信息不变的相关时间的总时间段成为AOAT， 即在一个AOAT，虽然信道信息不能认为一样，但AOA角度可以认为是一样的。

信道增益

然后讨论信道增益的变化。作者指出，第 $n+1$个相关时间的信道增益可写为：
$\alpha_{k, l, n+1}=\rho_{l} \alpha_{k, l, n}+\sqrt{1-\rho^{2}} \beta_{k, l, n}$
其中，
$\rho_l$: 时间相关系数，表示相邻相关时间之间相关的方差，是一个常数。
$\beta_{k, l, n}$：一个独立分布的高斯变量， $\beta_{k, l, n} \sim \mathcal{C} \mathcal{N}\left(0, \sigma_{k, l, n}^{2}\right)$
经过作者一通高深的分析，最后简化得到这样一个结论：
$\rho_{l}=\frac{\mathcal{K}}{\mathcal{K}+1} \exp \left[j 2 \pi f_{D} T \cos (\gamma)+j \frac{2 \pi d}{\lambda} \cos (\alpha)\right]$
推导属实艰难，有兴趣的可以看原论文。在这里我们只需要知道这是一个确定的常量即可。作者指出, $\gamma=180^{\circ}， \alpha=0^{\circ}$。

使用卡尔曼滤波追踪信道时变

综合以上两步分析，可以得出相邻相干时间内的信道信息的关系。也就是说，我们可以通过：
$\left(\tilde{\mathbf{h}}_{k, n+1}^{r_{0}}\right)_{i_{k}}=\rho\left(\tilde{\mathbf{h}}_{k, n}^{r_{0}}\right)_{i_{k}}+\sqrt{1-\rho^{2}}\left(\tilde{\mathbf{c}}_{k, n+1}^{r_{0}}\right)_{i_{k}}$
即由当前信道信息，预测下一相干时间的信道信息。同时，下一相干时间的导频也能估计出信道信息。再通过卡尔曼滤波，就能得到一个更准确的估计值，具体过程如下：
$\begin{array}{l}{\left(\tilde{\mathbf{h}}_{k, n+1 | n}^{r_{0}}\right)_{i_{k}}=\rho\left(\tilde{\mathbf{h}}_{k, n | n}^{r_{0}}\right)_{i_{k}}} \\ {p_{k, n+1 | n}=\rho^{2} p_{k, n | n}+\left(1-\rho^{2}\right) \mathbf{f}_{i_{k}}^{T} \mathbf{O}\left(\phi_{k, n, u}^{0}\right) \mathbf{R}_{k, n} \mathbf{O}^{H}\left(\phi_{k, n, u}^{0}\right) \mathbf{f}_{i k}^{*}} \\ {\left(\tilde{\mathbf{h}}_{k, n+1 | n+1}^{r_{0}}\right)_{i_{k}}=\left(\tilde{\mathbf{h}}_{k, n+1 | n}^{r_{0}}\right)_{i_{k}}+k g\left(\tilde{\mathbf{y}}_{k, n+1}^{\prime}-\tau p_{\tau}\left(\tilde{\mathbf{h}}_{k, n+1}^{r_{0}}\right)_{i_{k}}\right)} \\ {k g=\frac{p_{k, n+1 | n}}{\tau p_{\tau} p_{k, n+1 | n}+\sigma_{n}^{2}}} \\ {p_{k, n+1 | n+1}=\left(1-k g \tau p_{\tau}\right) p_{k, n+1 | n}}\end{array}$
不详细解释了，是基本的卡尔曼滤波器概念。

混合波束成形

最后，作者讨论了整个混合波束成形。事实上应该说是数字波束成形，因为前两节讲的其实就是模拟波束成形的内容（起到了补偿多普勒频移的效果）。这里作者给出的方法也很简单粗暴，直接迫零均衡，即：
$\mathbf{P}_{n, u}=\tilde{\mathbf{H}}_{n}^{\left\{B_{r 0}\right\}}\left[\left(\tilde{\mathbf{H}}_{n}^{\left\{B_{r 0}\right\}}\right)^{H} \tilde{\mathbf{H}}_{n}^{\left\{B_{r 0}\right\}}\right]^{-1}$
作为数字波束成形矩阵。无疑这是有缺陷的，但是这篇文章全程本着降低复杂度的目标，也无可厚非。

后续

后面作者也给出了他的复杂度分析和相关性能对比。由于这是我第一篇涉猎的该方面文章，不是太感兴趣。故略过。

疑问

To retain the orthogonality of users, the length of the pilot sequence for a time-division duplex (TDD) mMIMO system should be larger than the number of users, whereas for a frequency-division duplex system, the length will be even larger than the number of antennas, which is unacceptable [32].

作者的Algorithm1和Algorithm2伪代码写的不太明了，有点不清楚。