前言

一本数学竞赛题库从初一刷到初三，都没刷多少，刷得最多的时候还是初一上的时候，太TM羞耻了
我要改过自新，重新做人

遇到这种题，第一步就要发现180 - 135 = 45， 180 - 120 = 60，所以肯定要用外角，所以延长CB，BC，然后过点A,D做两条垂线就好了
不算难

刚碰到这种题的时候肯定是会有点蒙的，但是可以一步步来
找关键词：正整数，说明肯定是要把x,y限定在一个范围内
先看式子，可以发现 $\frac{1}{x} < \frac{3}{7}$,又因为x为正整数，所以 $x>=3$
同理 $y>=3$
首先原式可以变为 $3xy=7x+7y$
对于这种题肯定是要把所有数移到一边的
即 $3xy-7x-7y=0$
想要配方，但是3,7互质怎么办？
先×3
可变为 $9xy-21x-21y=0$
$(3x-7)(3y-7)-49=0$
$(3x-7)(3y-7)=49$
又因为 $x>=3,y>=3$
所以(3x-7)和(3y-7)只能为7，显然无解
所以就是无解

这种题有种几乎通用的解法就是用其他的数表示当前的数，也可以用换元法
因为x/(y+z) + y/(z+x) +z/(x+y)=1
所以x/(y+z)=1-y/(z+x)-z/(x+y)，两边同乘以x
得x^2/(y+z)=x-xy/(z+x)-xz/(x+y)
同理y^2/(x+z)=y-xy/(z+y)-yz/(x+y)
,z^2=z-xz/(y+z)-yz/(x+z)
原式=x+y+z-(xy+zy)/(x+z)-(xz+yz)/(x+y)-(yx+zx)/(y+z)
=x+y+z-y-z-x
=0
反正慢慢推就行了

见到中线，大部分解法：倍长中线法

这题就连接四边形对角线，然后一般是有两对相似，但有CB=CD后就多了两对相似，然后根据相似来推推就行了

遇到这种题不要急着枚举，也是可以用一个数表示其他数的方法来解

$如设三本书的数量分别是a,b,c$
$可得a+b+c=30,10a+15b+20c=500$
$把c当做常数，然后把a,b解出来得$
$x=z-10, y=40-2z$
$通过x>=0,y>=0可得10<=z<=20$
即有11种
是在不行暴力枚举也罢

刚见到这题的时候肯定是有点蒙的，包括我也是
但是通过上面那些题的经验我们知道肯定也是要用换元法
$设a^5=b^2=m^{10},c ^3=d^4=n^{12}$
$m^2-n^4=319, 319 = 1* 319 = 11 *29$
然后这题就简单了

还是换元大法好

排版出了点小问题，问题不大

这题看见比把它转换为相似就好了
把图丢出来吧

然后就简单啦

好恶心这题
$首先肯定也是换元，把上面那个东西设为k，然后推来推去，得到a^2b^2c^2=8，最后在推推推推就行了$

一开始看肯定会无从下手，对于这种不知从那里入手的题可以先取前几项，然后这题就没了
哈哈

首先肯定是把转换为用一个字母表示出来
但对于这种有二次项的却又是不同字母相乘的怎么转换呢？
通过平方和公式我们知道 $(a+b)^2=a^2+b^2+2ab$
$(a+b)^2-4ab=(a-b)^2$
$可得(a+b)^2>=4ab$
$ab<=\frac{1}{4}(a+b)^2$
这题用这个就行了

这种题就有意思了
首先直接这么搞肯定是不方便的，因为分母为n+k
所以可以先把分子分母对调一下，然后就简单啦

对于这种题我们要意识到 $b^2=ac$坑定是用来给你变形的

$b^2=ac,\frac{b}{a}=\frac{c}{b}$

然后发现是个等比数列
设公比为k
然后k>1
可得b<=36
然后b取36时解一下就可以了

见到这种题同样先要将原式变形
$a^2b^2+a^2+b^2+2ab=40，ab+a+b然后发现只和a+b, ab有关，然后设a+b=x,ab=y，再带回去解即可$

非常巧妙的转了两次弯，先证相似，得出边的比，通过边的比证相似
遇到这种题，如果怎么找角都找不到，可以把已知的相似写出来，然后在考虑边成比的相似

也是道巧妙的题
$1000a+b = 3ab$
$b = a(3b - 1000)$
$设t=3b-1000$
$1000a+at=3a^2t$
$1000+t=3at$
$a=\frac{1000+t}{3t}$
$\frac{1000+t}{3t}>=100, t <= 3$
然后取就好了

不过我发现还有一种方法
$1000a=3ab-b$
$b=\frac{1000a}{3a-1}$
a和3a-1是互质的吧
然后就没了

对于这种题，也是先把数表示出来，再换元，然后再通过题目条件解出取值范围，就没了