题面
题目描述
给出一个n*m的棋盘 (n、m<=80,n ×m<=80),要在棋盘上放k(k<=20)个棋子,使得任意两个棋子不相邻。每次试验随机分配一种方案,求第一次出现合法方案时试验的期望次数,答案用既约分数表示。(约分完毕的分数)
输入格式
一行,三个整数n,m,k
输出格式
一行n/m,表示最后的答案
样例数据
input
1 2 1
output
1/1
题解
这道题目的状态压缩好隐蔽。。。
我们先来观察数据范围。
是什么意思?代表
和
之间至少有一者
。
那么说,我们只需要把较长者作为阶段划分依据,较短者作为状态压缩。一共有
个状态。可以接受。
预处理
我们再来观察原题。
不能有两个相邻的1,那么说明一个状态i合法的充分必要条件是
&
&
那么我们可以预处理出所有可能的状态放进集合s,顺便处理出这个合法状态的1的个数。
状态
我们设这个状态 代表第i行的状态是j,而且已经有k个棋子的方案数。
状态转移
不合法状态较多,而且较复杂,直接看代码吧。
算期望
这里的期望可以这样算(因为是等概率事件)
总方案数是
code
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
inline int read(){
int num=0;
char c=' ';
bool flag=true;
for(;c>'9'||c<'0';c=getchar())
if(c=='-')
flag=false;
for(;c>='0'&&c<='9';num=num*10+c-48,c=getchar());
return flag ? num : -num;
}
inline unsigned long long gcd(long long a,long long b){
if(!b)return a;
return gcd(b,a%b);
}
const int maxn=11;
int n,m,k;
int s[1<<maxn],num[1<<maxn],top=0;
//集合s以及当前数的二进制下1的个数
void yuchuli(){
for(int i=0;i<1<<m;i++){
int c=0;
if(i&(i<<1)||i&(i>>1))continue;
for(int j=0;j<m;j++)
if(i>>j&1)c++;
top++;
num[top]=c;
s[top]=i;
}
}
unsigned long long f[80][100][80],ans=0;
//这里要注意****由于不合法状态较多,所以我们这里的f[i][j][k]中的j
//不是真正的状态,j代表的状态是s[j]
//也就是集合s中第j个状态
//节省一大半空间
void dp(){
f[0][1][0]=1;
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=top;j++)
for(int t=0;t<=k;t++){
if(t<num[j])continue;
for(int l=1;l<=top;l++){
if(s[j]&s[l])continue;
f[i][j][t]+=f[i-1][l][t-num[j]];
}
}
for(int i=1;i<=top;i++)
ans+=f[n][i][k];
}
bool flag[30]={};
void work(){
unsigned long long t=1,now;
for(int i=m*n-k+1;i<=m*n;++i){
t*=i;now=gcd(t,ans);
t/=now;ans/=now;
for(int j=2;j<=k;++j){
if(flag[j])continue;
if(t%j==0){
t/=j;flag[j]=1;
}
}
}
for(int i=2;i<=k;++i)
if(!flag[i])ans*=i;
now=gcd(t,ans);t/=now;ans/=now;
printf("%lld/%lld",t,ans);
}
int main(){
n=read();m=read();k=read();
if(n<m)swap(n,m);
yuchuli();
dp();
work();
return 0;
}