前言
对勾型函数\(f(x)=x+\cfrac{1}{x}\)是高中数学中的一个非常特殊且高频考查的函数,其更一般的情形是\(f(x)=\)\(ax\)\(+\cfrac{b}{x}\)\((a,b>0)\),由于其图像样子像对勾\(\checkmark\) ,所以好多人形象的称其为“对勾函数”,又或称其为“耐克函数”。
模型解读
分析:函数的定义域是\(x\in(-\infty,0)\cup(0,+\infty)\),且是奇函数,
故只先研究\(x\in(0,+\infty)\)上的图像,研究工具是导数。
先求导,得到\(f'(x)=1-\cfrac{1}{x^2}=\cfrac{x^2-1}{x^2}\),
令\(f'(x)>0\),即\(x^2-1>0\),得到\(x>1\);
令\(f'(x)<0\),即\(x^2-1<0\),得到\(0<x<1\);结合奇函数的特性,
可知,函数在区间\((-\infty,-1]\)单增,在\([-1,0)\)单减,在\((0,1]\)单减,在区间\([1,+\infty)\)单增,
又\(f(1)=2,f(-1)=-2\),做出函数的简图,
可知函数的值域为\((-\infty,-2]\cup [2,+\infty)\)。
另解: \(|y|=|x+\cfrac{1}{x}|=|x|+|\cfrac{1}{x}|\geqslant 2\),即\(|y|\geqslant 2\),
故函数的值域为\((-\infty,-2]\cup [2,+\infty)\)。