【矩阵前缀和：常数时间求一子矩阵的加和】

如图，给定一点，要找到这点（包括）左上方的子区域内，使k*k区域所有数字加和最大的矩阵，如图 k=2

对于x,y左上方的子矩阵中的某一k*k区域，这个区域只能有四种状态：

• k*k区域右边缘落在 (x, y) 正上方，问题转换为求解 (x-1, y) 左上方的最大加和的 k*k区域
• k*k区域下边缘落在 (x, y) 正左方，问题转化为求解 (x, y-1) 左上方的最大加和的 k*k区域
• k*k区域既不落在 （x, y）正上方，也不在正左方，问题转化为 (x-1, y) 或 (x, y-1) 左上方的最大加和的 k*k区域
• k*k区域右下角就是 (x, y) ，那么问题可以直接被解

因为状态3包含于1，2之中，我们只需要比较状态124，取最大即可

定义状态：
dp[x][y] 表示【从左上角到x,y坐标】的子矩阵中，和最大的k*k区域的所有数字加和

状态转移

dp[x][y] = max(以xy为右下角的k*k区域加和， max(dp[x][y-1], dp[x-1][y]))

求解k*k区域所有元素的加和，通过矩阵前缀和，常数时间完成

代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

int a[1509][1509], dp[1509][1509];
int m, n, k;

int kksum(int x1, int y1, int x2, int y2)
{
	return a[x2][y2]-a[x1-1][y2]-a[x2][y1-1]+a[x1-1][y1-1];
}

int main()
{	
	cin>>m>>n>>k;
	memset(a, 0, sizeof(a));
	memset(dp, 0, sizeof(dp));
	
	// 计算行前缀和 
	for(int i=1; i<=m; i++)
		for(int j=1; j<=n; j++) 
			cin>>a[i][j], a[i][j]+=a[i][j-1]; 
	// 计算列前缀和 
	for(int i=1; i<=m; i++)
		for(int j=1; j<=n; j++)
			a[i][j] += a[i-1][j];
	
	for(int i=k; i<=m; i++)
		for(int j=k; j<=n; j++)
			dp[i][j] = max(kksum(i-k+1, j-k+1, i, j), max(dp[i][j-1], dp[i-1][j]));
	
	cout<<dp[m][n]<<endl;
	
	return 0;
}

/*
5 6 3
-1 -8 9 -123 123 3
77 9 18 -5 -33 9
-99 -77 321 -9 0 7
0 12 -11 0 85 54
0 1 -1 0 -1 0

4 4 2
0 0 0 0
0 1 1 0
0 1 1 0
0 0 0 0

3 4 2
-1 -2 3 -4
-5 6 -7 8
9 10 -11 -12

9 9 3
1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 8 8 8 8 8 1 1 1
1 8 8 8 8 8 1 1 1
1 8 8 8 8 8 1 1 1
1 1 1 1 8 8 8 1 1
1 1 1 1 1 1 8 8 8
1 1 1 1 1 1 9 9 9
1 1 1 1 1 1 9 9 9
*/