有两个容量分别为 x升 和 y升 的水壶以及无限多的水。请判断能否通过使用这两个水壶,从而可以得到恰好 z升 的水?
如果可以,最后请用以上水壶中的一或两个来盛放取得的 z升 水。
你允许:
- 装满任意一个水壶
- 清空任意一个水壶
- 从一个水壶向另外一个水壶倒水,直到装满或者倒空
方法一 深度优先遍历
每次操作的选择有
把 X 壶的水灌进 Y 壶,直至灌满或倒空;
把 Y 壶的水灌进 X 壶,直至灌满或倒空;
把 X 壶灌满;
把 Y 壶灌满;
把 X 壶倒空;
把 Y 壶倒空。
因此,每一步就循环对不同的操作进行遍历,直到遍历完全部可能。速度比较慢。借助外部存储记录遍历过的状态,减少重复遍历。
方法二 贝祖定理
因为每次有效操作只会让桶里的水总量增加 x,增加 y,减少 x,或者减少 y。因此我们的目标可以改写成:找到一对整数 a, b,使得
ax+by=z
而只要满足 z≤x+y,且这样的 a, b存在,那么我们的目标就是可以达成的。
贝祖定理告诉我们,ax+by=z 有解当且仅当 z 是 x, y 的最大公约数的倍数。因此我们只需要找到 x, y 的最大公约数并判断 z 是否是它的倍数即可。
class Solution {
public boolean canMeasureWater(int x, int y, int z) {
if(z==0){
return true;
}
if(x+y<z){
return false;
}
if(x==0||y=0){
return x+y==z;
}
int d=gcd(x,y);
return z%d==0;
}
public int gcd(int a, int b){
return b==0?a:gcd(b,a%b);
}
}