作者:默默默默
链接:https://www.zhihu.com/question/22205661/answer/236054067
来源:知乎
著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权,非商业转载请注明出处。
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我们先来看一个二维空间:
在这个二维空间中,有两个基向量,那么任意一个在该平面的的向量可以由这两个向量线性叠加。如果将(0,1)与(1,0)分别看做两个列向量 则表征一个二维空间的向量可以写成矩阵的形式:
x为叠加系数。那么如果一个向量y一旦确定,那么x也就是唯一确定的,也就是说y可以由 唯一确定表示, 也是一个满秩矩阵。那么如果二维空间不光只有 ,还有很多其他向量:
那么同样用一个这些向量来表征二维空间中的任意一个向量:
由于这些向量不是两两正交的,且向量个数远远高于维数,这就导致表征y的叠加系数x是不唯一的(因此就要加上x是稀疏向量的约束),也就是说矩阵 不是一个满秩矩阵, 相对于 来说就显得非常的冗余,因为 中不光可能包含了二维空间的正交基向量,还有可能包含了需要表征的向量以及其他很多的向量,所以说 包含的向量非常多,就更加完备,所以类似于 这样的字典就可以叫做超完备字典。