练习实例100（3）

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题目：一个整数，它加上100后是一个完全平方数，再加上168又是一个完全平方数，请问该数是多少？

程序分析：

假设该数为 x。

1、则：x + 100 = n^2, x + 100 + 168 = m^2

2、计算等式：m2 - n2 = (m + n)(m - n) = 168

3、设置： m + n = i，m - n = j，i * j =168，i 和 j 至少一个是偶数

4、可得： m = (i + j) / 2， n = (i - j) / 2，i 和 j 要么都是偶数，要么都是奇数。

5、从 3 和 4 推导可知道，i 与 j 均是大于等于 2 的偶数。

6、由于 i * j = 168， j>=2，则 1 < i < 168 / 2 + 1。

7、接下来将 i 的所有数字循环计算即可。

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数学思想：

#设该数为x：x + 100 = n^2, n^2 + 168 = m^2。

#设m=n+k（不妨设m,n,k均为自然数）：带入m^2-n^2-168，得k^2+2nk=168。

#在此基础上 k(k+2n)=168   , 若 k为奇数，k+2n也为奇数，等式不成立，所以k为偶数，

#则等式除以4,得(k/2)(k/2+n) =42， 令 t=k/2, (t>0)   

#t(t+n)=42  则 n= 42/t -t ; 由于n大于0，所以 t小于等于6 ，42/t 又是整数，得到 t 的取值为 1,2,3,6,

#对应得到 x =1581,261,21，-99

方法一：

1. <script>
   for(var i=1;i<85;i++){
   	if(168 % i ==0){
   		var j = 168 / i;
   		if(i > j && (i + j) % 2 == 0 && (i - j) % 2 == 0){
   			var m = (i + j) / 2;
                           var n = (i - j) / 2;
                           var x = n * n - 100;
   			document.write(x+"<br>");
   			}
   		}	
   	
   	}
   
   </script>

方法二：

#设该数为x：x + 100 = n^2, n^2 + 168 = m^2。

#设m=n+k（不妨设m,n,k均为自然数）：带入m^2-n^2-168，得k^2+2nk=168。

#解得n=84/k - k/2；由于n,k均为自然数，则nk>=1，故1< =k^2<168，故1<=k<=12。

1. <script>
   for(var x=1;x<13;x++){
   	var a = 84/x - x/2;
   	if(parseInt(a)==a){
   		var n = a * a - 100;
   		document.write(n+"</br>")
   		}
   	}
   
   
   </script>

方法三：

1. <script>
   for(var i=1;i<85;i++){
   	if(168 % i == 0){
   		var j = 168 / i;
   		if(i > j){
   			var m = ( i + j )/2;
   			var n = ( i - j)/2;
   			if(  m * m - 268 == n * n - 100 && (n * n - 100) % 1 == 0 ){
   				var x = m * m - 268;
   				document.write(x+"</br>")
   				}
   			}
   		}
   	}
   
   </script>
   

方法四：

1. <script>
   for(var m=1;m<168;m++){
   	for(var n=1;n<168;n++){
   		if((m+n)*(m-n)==168){
   			var x = n * n -100;
   			document.write(x+"</br>")
   			}
   		}
   	}
   </script>

方法五：

#思路：根据题意可先求出所求数的最大范围，并在范围内部循环测试是否有满足条件的数字，若有，则输出出来：

1. <script>
   var i = 1;
   //求出最大范围：
   while(((i+1)*(i+1)-i*i) <= 168){
   	i += 1;}
   //循环测试并输出
   for(var j=1;j<i;j++){
   	for(var k=1;k<i;k++){
   		if((k*k - j*j) == 168){
   			var s = k*k - 268;
   			document.write(s+"</br>");
   			}
   			
   		}
   	}
   	
   	
   </script>

方法六：

分析：
设这个整数为x
1、 x+100=n^2和x+100+168=m^2
推出 m^2-n^2=168
即   （m+n)(m-n)=168
设    m+n=i m-n=j
则    i*j=168
由    i>0 j>0   推出  i%2=0 j%2=0
由    168=2*2*2*3*7
上面两个条件推出i与j值的范围[2,4,6,12,14,28,42,84]
反推：m=(i+j)/2和n=(i-j)/2 并且 n>0 推得 i>j
则     i=[14,28,42,84]
       j=[12,6,4,2]

1. <script>
   var arr1=[14,28,42,84];
   var arr2=[12,6,4,2];
   for(var i=0;i<4;i++){
   	var m=(arr1[i]+arr2[i])/2;
   	var n=(arr1[i]-arr2[i])/2;
   	var x=x=n*n-100;
   	document.write(x+"</br>");
   }
   </script>