前言

感觉今天又颓了一个早上
来总结一下卡特兰数的不同形式和证明吧

应用

我觉得知道栈模型就差不多了。。
别的能转化就转化咯

形式1

$f(n)=f(0)*f(n-1)+f(1)*f(n-2)+...+f(n-1)*f(0)$
我们考虑，枚举最后一个出栈的那个点的编号$i$
那么在$i$进来之前，$i-1$肯定已经出栈了，这个的方案是$f(i-1)$
然后$i$后面的话，就是有$f(n-i)$的方案
然后乘起来就是答案了
这个的话，效率是$O(n^2)$
缺点就是时间很慢
但是优点是没有除法，在出题人毒瘤要你写高精度的时候可以减少码量

形式2

也就是组合数的形式
$f(n)=C_{2n}^n-C_{2n}^{n-1}$
我们考虑，用全部减去不和法的
那么就是说现在你加入一个元素就是$(+1,+1)$，删除一个就是$(+1,-1)$
你现在要从$(0,0)$走到$(2n,0)$的方案数
但是不能走到x轴一下
总的显然是$C_{2n}^n$
我们考虑如果经过了x轴，那么肯定会到达$y=-1$这一条直线
于是我们可以把第一次$y=-1$的后面，翻转过来
也就是加入一个元素就是$(+1,-1)$，删除一个就是$(+1,+1)$
然后这样的话，走到$(2n,-2)$的方案数就是答案了
并且显然地，对于每一种走到$(2n,-2)$在你第一次到达$y=-1$的时候翻转都是一个合法的答案
然后就证完了

形式3

还是组合数的形式
$f(n)=\frac{1}{n+1}C_{2n}^n$
这个的话，证明也十分简单
我们考虑证明$C_{2n}^n-C_{2n}^{n-1}=\frac{1}{n+1}C_{2n}^n$
也就是要证明$C_{2n}^n-\frac{1}{n+1}C_{2n}^n=C_{2n}^{n-1}$
把式子展开可以得到
$C_{2n}^n-\frac{1}{n+1}C_{2n}^n=\frac{n}{n+1}C_{2n}^n=\frac{n}{n+1}\frac{(2n)!}{n!n!}=\frac{(2n)!}{(n+1)!(n-1)!}$
然后就和后面的式子一样了

形式3

$f(n)=\frac{f(n-1)*(4*n-2)}{n+1}$
但是这个我并不会证明
但是你可以把这个式子拆开，可以得到一个比较好玩的形式
$f(n)=\frac{\Pi(4*i-2)}{(n+1)!}$
这样的话就是$O(n)$
虽然我还没有想好这个东西怎么出题。。
但是这个形式还是挺好玩的吧。。也算是一个通项，雾）
CODE:

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
typedef long long LL;
int main()
{
    LL n;
    scanf("%lld",&n);
    LL ans=1;
    for (LL u=1;u<=n;u++)   ans=ans*(4*u-2);
    for (LL u=1;u<=n+1;u++) ans=ans/u;
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}