问题描述:
有一张世界地图,从世界地图中选择 个城市, 表示第 个城市拥有的资产价值。然后执行若干操作,每轮选择区间 中的城市,将其资产价值增加 ,最后给出 运算后各城市的资产价值。
input:
第一行包含两个整数 城市和运营的数量。
第二行包含序列 的元素:整数 。
接下来是 行,每一行代表一个操作。第 行包含用于第 操作的三个整数 和 。
output:
每一行输出 个整数 , 应等于第 个城市的最终资产值。
样例输入1:
4 2
-3 6 8 4
4 4 -2
3 3 1
样例输入2:
2 1
5 -2
1 2 4
样例输入3:
1 2
0
1 1 -8
1 1 -6
样例输出1:
-3 6 9 2
样例输出2:
9 2
样例输出3:
-14
解题思路:
首先我们可以采用暴力做法,但是时间复杂度为 ,在正规比赛中肯定会超时,若要简化复杂度,我们首先要掌握两个概念:前缀和和差分。
前缀和:前缀和可以通过 的复杂度求出一个区域的所有元素之和,但是在此之前,我们要进行初始化,复杂度是 。初始化为: 在初始化之后,我们就能快速得到在 和 区间内的各元素和。
差分:我们通过差分构造,可以将原数组 转化为差分数组 的前缀和。具体构造方式为: 则我们可以得到对于 数组的每一个元素值,都有: 如果我们对于数组 的任意一个区间 上元素均加上一个值 ,则其等价于数组 中, 加 , 减 。那么我们可以通过前缀和和差分,可以对以上问题求解。
即我们将原数组转变为差分数组,然后将区间修改转变为单点修改,然后对差分数组求前缀和,则是我们要求数组的最终值,复杂度为 。
解题总结:
前缀和通常用于优化算法中的某一步骤,进而降低复杂度。可以利用差分的特点,加区间的修改转变为点的修改。
代码:
#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
int n,q;
long long int a[300000]; //原数组
long long int b[300000]; //差分数组
long long int sum[300000]; //差分数组的前缀和
int main()
{
cin>>n>>q;
for(int i=1;i<=n;i++)
scanf("%lld",&a[i]);
b[1]=a[1];
for(int i=2;i<=n;i++)
b[i]=a[i]-a[i-1];
for(int i=0;i<q;i++)
{
long long int l,r,c;
cin>>l>>r>>c;//将区间的变化转变为点的变化
b[l]+=c;
b[r+1]-=c;
}
sum[0]=0;
sum[1]=b[1];
for(int i=2;i<=n;i++)
sum[i]=sum[i-1]+b[i];
for(int i=1;i<=n;i++)
{
a[i]=sum[i]-sum[0];//通过前缀和计算原数组的值
cout<<a[i];
if(i!=n)
cout<<" ";
}
cout<<endl;
}