不容易系列之一
Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others) Memory Limit: 65536/32768 K (Java/Others)Total Submission(s): 24471 Accepted Submission(s): 10645
Problem Description
大家常常感慨,要做好一件事情真的不容易,确实,失败比成功容易多了!
做好“一件”事情尚且不易,若想永远成功而总从不失败,那更是难上加难了,就像花钱总是比挣钱容易的道理一样。
话虽这样说,我还是要告诉大家,要想失败到一定程度也是不容易的。比如,我高中的时候,就有一个神奇的女生,在英语考试的时候,竟然把40个单项选择题全部做错了!大家都学过概率论,应该知道出现这种情况的概率,所以至今我都觉得这是一件神奇的事情。如果套用一句经典的评语,我们可以这样总结:一个人做错一道选择题并不难,难的是全部做错,一个不对。
不幸的是,这种小概率事件又发生了,而且就在我们身边:
事情是这样的——HDU有个网名叫做8006的男性同学,结交网友无数,最近该同学玩起了浪漫,同时给n个网友每人写了一封信,这都没什么,要命的是,他竟然把所有的信都装错了信封!注意了,是全部装错哟!
现在的问题是:请大家帮可怜的8006同学计算一下,一共有多少种可能的错误方式呢?
做好“一件”事情尚且不易,若想永远成功而总从不失败,那更是难上加难了,就像花钱总是比挣钱容易的道理一样。
话虽这样说,我还是要告诉大家,要想失败到一定程度也是不容易的。比如,我高中的时候,就有一个神奇的女生,在英语考试的时候,竟然把40个单项选择题全部做错了!大家都学过概率论,应该知道出现这种情况的概率,所以至今我都觉得这是一件神奇的事情。如果套用一句经典的评语,我们可以这样总结:一个人做错一道选择题并不难,难的是全部做错,一个不对。
不幸的是,这种小概率事件又发生了,而且就在我们身边:
事情是这样的——HDU有个网名叫做8006的男性同学,结交网友无数,最近该同学玩起了浪漫,同时给n个网友每人写了一封信,这都没什么,要命的是,他竟然把所有的信都装错了信封!注意了,是全部装错哟!
现在的问题是:请大家帮可怜的8006同学计算一下,一共有多少种可能的错误方式呢?
Input
输入数据包含多个多个测试实例,每个测试实例占用一行,每行包含一个正整数n(1<n<=20),n表示8006的网友的人数。
Output
对于每行输入请输出可能的错误方式的数量,每个实例的输出占用一行。
Sample Input
2
3
Sample Output
1
2
全错排是有自己的一个公式的,叫全错排公式(跟容斥没关系)
要装第i封信的时候,先把前i-1个信全装错信封,然后随便选其中一个与第i封信交换,有i-1种选法
那么dp[i] = (i-1) * dp[i-1]
但是还有一种情况
要装第i封信的时候,先从i-1封信中任选i-2个信把他们全装错信封,然后把剩下的那个信与第i个交换,从i-1封信中任选i-2个信有i-1种选法
那么dp[i] = (i-1) * dp[i-2]
两个式子联合起来,就是那么dp[i] = (i-1) * (dp[i-1] + dp[i-2]),这就是全错排公式,递推,递归都可以做
#include<stdio.h> using namespace std; #define ll long long ll dp[25]; void Init() { dp[1]=0; dp[2]=1; for(int i=3;i<25;i++) dp[i]=(i-1)*(dp[i-1]+dp[i-2]); return ; } int main() { Init(); int n; while(~scanf("%d",&n)) { printf("%lld\n",dp[n]); } return 0; }
那么这题容斥怎么做呢?
首先,所有装信的总数是n!
(在n中任选一个信封放进一封信,然后在剩下的n-1中任选一个信封放进一封信,以此类推,所以是n*(n-1)*(n-2)... = n!)
假设
A1表示1封信装对信封,数量是(n-1)! (只有n-1个位置可以乱放)
A2表示2封信装对信封,数量是(n-2)! (只有n-2个位置可以乱放)
...
An表示n封信装对信封,数量是1
那么这题的答案就是
n! - C(n, 1)*|A1| + C(n, 2)*|A2| - C(n, 3)*|A3| + ... + (-1)^n * C(n, n)*|A4|
把C(n, m)用
代入式子
化简
n! - n! / 1! + n! / 2! - n! / 3! + ... + (-1)^n * n! / n!
提取n!
n!(1 - 1/1! + 1/2! - 1/3! + ... + (-1)^n * 1/n!)
#include<cstdio> typedef long long LL; int n, flag; LL fac[25]; LL ans; void init(){ fac[0] = 1; for(int i = 1; i <= 20; i ++) fac[i] = fac[i-1] * i; } int main(){ init(); while(~scanf("%d", &n)){ ans = fac[n]; flag = -1;//容斥的符号变化 for(int i = 1; i <= n; i ++){ ans += flag * fac[n] / fac[i]; flag = -flag; } printf("%I64d\n", ans); } }