简介

模拟退火算法（Simulate Anneal，SA）是一种通用概率演算法，用来在一个大的搜寻空间内找寻命题的最优解。其思想借鉴于固体的退火原理，当固体的温度很高的时候，内能比较大，固体的内部粒子处于快速无序运动，当温度慢慢降低的过程中，固体的内能减小，粒子的慢慢趋于有序，最终，当固体处于常温时，内能达到最小，此时，粒子最为稳定。模拟退火算法便是基于这样的原理设计而成。

套用知乎上的形象描述：

一个锅底凹凸不平有很多坑的大锅，晃动这个锅使得一个小球使其达到全局最低点。一开始晃得比较厉害，小球的变化也就比较大，在趋于全局最低的时候慢慢减小晃锅的幅度，直到最后不晃锅，小球达到全局最低。

爬山算法

介绍模拟退火，一般会提到爬山算法。爬山算法是一种简单的贪心搜索算法，该算法每次从当前解的临近解空间中选择一个最优解作为当前解，直到达到一个局部最优解。

如上图所示，如果是简单的爬山算法，那么从出发点开始，遇到A就不会再爬了（肯定不会往D移动），因为A是其附近的一个比较高的点，再往两边走都会下降。这就是陷入了局部最优解。爬山算法可以说是完全“贪心”的，鼠目寸光，丝毫不知道后面还有C等着它。

模拟退火思想

事实上，与爬山算法相似，模拟退火也是一种贪心算法，但它到达A之后，有一定概率往D移动，并且随着时间推移（温度逐渐下降），这个概率会逐渐降低（这样最终才能稳定）。这个过程很像金属退火的那个过程，故退火算法因此得名。那么这个一定概率怎么表达呢，根据热力学原理，在温度为T时，出现能量差降温的概率为：

有趣的比喻

爬山算法：兔子朝着比现在高的地方跳去。它找到了不远处的最高山峰。但是这座山不一定是珠穆朗玛峰。这就是爬山算法，它不能保证局部最优值就是全局最优值。（非常懒，一开始看到比现在高的就接受）

模拟退火：兔子喝醉了。它随机地跳了很长时间。这期间，它可能走向高处，也可能踏入平地。但是，它渐渐清醒了并朝最高方向跳去。这就是模拟退火。（一开始很激动，到处试探，变化大。后面心累了，逐渐减缓了步伐，朝向此时此刻的最高点爬去）

算法实现

这里用SA来求解$y=10\times sin(5x)+7\times cos(4x)$在的$x=0和10$之间的最大值

算法步骤:
1.初始化温度$T$、降温系数$\alpha$、最小温度$T_{mim}$以及一个随机的可行解$(x,y)$
2.当$T>T_{mim}$，进行下面步骤，否则返回结果
3.随机发生扰动$\Delta x$
4.计算发生扰动后的$\Delta y值$，大于0就接受这个扰动，小于0就以$p(\Delta x)=e^{-\frac {\Delta x}{T}}$概率接受。
5.更新最佳$(x,y)$
5.循环步骤3到4 n次(自己设定的参数)。
6.$T = \alpha T$
7.返回步骤2

代码

import matplotlib.pyplot as plt
import math
import random

"""
函数里面所有以plot开头的函数都可以注释掉，没有影响
求解的目标表达式为：
y = 10 * math.sin(5 * x) + 7 * math.cos(4 * x)  x belongs to (0,10)
"""


def main():
    plot_obj_func()
    T_init = 100  # 初始最大温度
    alpha = 0.90  # 降温系数
    T_min = 1e-3  # 最小温度，即退出循环条件
    T = T_init
    x = random.random() * 10  # 初始化x，在0和10之间
    y = 10 * math.sin(5 * x) + 7 * math.cos(4 * x)
    results = []  # 存x，y
    while T > T_min:
        x_best = x
        # y_best = float('-inf')  # 设置成这个有可能会陷入局部最优，不一定全局最优
        y_best = y  # 设置成这个收敛太快了，令人智熄
        flag = 0  # 用来标识该温度下是否有新值被接受
        # 每个温度迭代50次，找最优解
        for i in range(50):
            delta_x = random.random() - 0.5  # 自变量进行波动
            # 自变量变化后仍要求在[0,10]之间
            if 0 < (x + delta_x) < 10:
                x_new = x + delta_x
            else:
                x_new = x - delta_x
            y_new = 10 * math.sin(5 * x_new) + 7 * math.cos(4 * x_new)
            # 要接受这个y_new为当前温度下的理想值，要满足
            # 1y_new>y_old
            # 2math.exp(-(y_old-y_new)/T)>random.random()
            # 以上为找最大值，要找最小值就把>号变成<
            if (y_new > y or math.exp(-(y - y_new) / T) > random.random()):
                flag = 1  # 有新值被接受
                x = x_new
                y = y_new
                if y > y_best:
                    x_best = x
                    y_best = y
        if flag:
            x = x_best
            y = y_best
        results.append((x, y))
        T *= alpha

    print('最优解 x:%f,y:%f' % results[-1])

    plot_final_result(results)
    plot_iter_curve(results)



# 看看我们要处理的目标函数
def plot_obj_func():
    """y = 10 * math.sin(5 * x) + 7 * math.cos(4 * x)"""
    X1 = [i / float(10) for i in range(0, 100, 1)]
    Y1 = [10 * math.sin(5 * x) + 7 * math.cos(4 * x) for x in X1]
    plt.plot(X1, Y1)
    plt.show()


# 看看最终的迭代变化曲线
def plot_iter_curve(results):
    X = [i for i in range(len(results))]
    Y = [results[i][1] for i in range(len(results))]
    plt.plot(X, Y)
    plt.show()

def plot_final_result(results):
    X1 = [i / float(10) for i in range(0, 100, 1)]
    Y1 = [10 * math.sin(5 * x) + 7 * math.cos(4 * x) for x in X1]
    plt.plot(X1, Y1)
    plt.scatter(results[-1][0], results[-1][1], c='r', s=10)
    plt.show()

if __name__ == '__main__':
    # for i in range(100):
    main()

运行结果

初始温度$T=100$
降温系数$\alpha =0.90$
每个T里面再循环$50$次取当前温度最佳
得到全局最优的概率大概有$100\%$
运行得到的最优解：

收敛之快令人发指：

后话

这里不知道改了什么，同样一个目标函数，用遗传算法和模拟退火效率截然不同。大概是弄错了吧2333，毕竟水平有限。这么一对比，似乎退火在解决这种弱智问题上还好用点。不过其实仔细想下，两个算法各自的优缺点还是比较明显的。

遗传算法：优点是能很好的处理约束，能很好的跳出局部最优，最终得到全局最优解，全局搜索能力强；缺点是收敛较慢，局部搜索能力较弱，运行时间长，且容易受参数的影响。（一次放了一堆兔子，品种不好的就把人家丢掉）

模拟退火：优点是局部搜索能力强，运行时间较短；缺点是全局搜索能力差，容易受参数的影响。（一次只放一只喝醉酒的兔子，酒醒之时即是远方）