主要理解得益于：https://blog.csdn.net/a784586/article/details/63262080
其通俗易懂的讲解着实厉害，部分内容也来自与这篇博文

动态规划

动态规划算法通常用于求解具有某种最优性质的问题。在这类问题中，可能会有很多可行解，每一个解都对应于一个值，我们希望找到具有最优值的解。动态规划可以将一个复杂问题分解问若干子问题，然后求解子问题，从而得到原始问题的解。
这本身是一种分治法的思想，但是动态规划分解后的子问题往往不是独立的，即下一个阶段的求解必须是建立在上一个子阶段的基础上的。可以简单理解为一个爬楼梯的过程，你要爬到第二格楼梯，一定要先爬第一格。

背包问题

有 $n$ 种重量和价值分别为 $weight_i$ ， $value_i$ 的物品，假设有一个容量为 $w$ 的背包，求怎么样装这个背包，才能使得 $\sum_1^n{k_i*weight_i}（其中k_i为0到物品的数量至多有多少）$ 不超过背包的总重量，并获得最大的价值 $\sum_1^n{k_i*value_i}$ 。
这个问题确实很难，因为从物品的组合方式多种多样，我怎么知道该如何选才能达到最优？下面以一个简单的例子来说明动态规划在这里应该怎么用。
这里写图片描述
如上图，现在我们有一个能容纳重量为 $w$ 的背包，和5种物品 $a b c d e$ ，直观上确实很难理解怎么直接放置才能实现价值最大化。

1、假设这里每种物品至多只能取一次，并且我们先不管这个背包真实容量11，我们假设这个背包容量其实只有1，并且此时此刻可选物品也只有a，显然，在这种情况下，a能放入这个背包，并得到了价值1。这时候假设我们可选物品多了一件b，容量仍为1，但b的重量大于1，放不下，与此类似，我们可知，即使可选物品变成5件，因为其他物品的重量都超过了当前这个背包容量1，我们可放的物品仍然只有a，总的价值还是为1。

2、这时候我们假设背包容量变成了2，一开始还是只能放a，得到的价值为1。这时候，假设b也可选了，即此时ab均可选，那么因为b的重量小于等于2，此时价值最大的方式就是把刚刚放的a拿出来，放入b，就可以得到价值6。当 $cde$ 也可选，因为容量超限，显然不能再有更好的放置方案。

3、接着，我们假设背包容量变成了3，起初只有a一种物品，那么能放入，得到的价值为1，这时候再来一件b，a+b仍然不超过容量3，因此可以得到价值7。

我发现这个例子要举出点鲜明的变化至少要举到重量变成5的时候，但那时候文字太多了。我就文字补一波，希望看到这里的人能脑补出来。我们假设在重量为5的情况下，一件件看物品 $a b c d e$ 物品，开始只有a，那么放得下，得到价值1。只有ab，也放得下，得到价值7。但出现c的时候，问题来了，因为c一个的价值就超过了ab，而且重量不超限，最好的方法就是把ab都干掉，只放c。当放了c，后来再看de，因为两个都超限，最终也只放c获得了最大价值18。

上面的内容非常废话，但却透露了一个思想，甚至隐含了一个公式。
我们假设 $opt(i,w)$ 为前 $i$ 种物品在重量 $w$ 条件下任意组合所能达到的最大化价值（好好理解一下这句话理解了背包问题基本没问题），则有

o p t (i, w) = m a x (在 第 i 件 物 品 未 出 现 时 所 能 获 得 的 最 大 价 值 ， 在 第 i 件 物 品 出 现 后 所 能 获 得 的 最 大 价 值)

$opt(i,w)=max(在第i件物品未出现时所能获得的最大价值，在第i件物品出现后所能获得的最大价值)$
有人说这不是废话么，请看回前面的第三点，假设在c刚出现的时候，我们要怎么才能知道如何实现价值最大化，那么就是比比a+b和单个c的价值，看看谁能最大化这个利益。

这里用区区几个小例子很难表达完整，我们拓展一下物品种类，假设现在有了50种物品 $o_{50}$ ，背包容量也拓展到了110。那你怎么知道当50种物品都可选即（=50），且背包容量为110的最优方案是什么。参考前面那一段落，我们现在假设已经知道当容量<=110，且物品<50（即最多49种)的最佳放置方案。且假设第50种物品的价值为 $value_{50}$ 重量为 $weight_{50}$ ，那么求解这个的办法即为，对比一下没出现 $o_{50}$ 时候的最大利益 $opt(49,w)$ 和把 $o_{50}$ 也放进去的利益 $opt(49,w-weight_{50})+value_{50}$ 。

这里很多人会晕，其实很简单， $w-weight_{50}$ 也就是这个背包有重达 $weight_{50}$ 的空间给这个新成员占用了，并且通过这个成员增多了价值 $value_{50}$ 。但你其余的49种只剩下 $w-weight_{50}$ 这么多空间进行分配了，所以也要让49种任意组合得到最大化价值。这个公式一般化，有：

o p t (i, w) = m a x {o p t (i - 1, w), o p t (i - 1, w - w e i g h t_{i}) + v a l u e_{i}}

$opt(i,w)=max\lbrace opt(i-1,w),opt(i-1,w-weight_{i})+value_{i}\rbrace$

这个公式很多人看起来就晕圈了，其实只要把i从1开始（手算都可以），慢慢推导过去，你就会发现，我去，那么简单？

问题具体化

这里再提一下上面那个例子
这里写图片描述
求解这个问题，其实画个表格，慢慢算即可，如下：

里面几个主要的数字我都标红了，前面都有提到，这个表只要慢慢算到右下角就可以了，最右下角就是当w为11，n为5时候的最优值。我用python跑出的完整表格如下：
这里写图片描述

01背包问题

其实0101，挺形象的，0就是不放，1就是至多放一个。也就是物品只有放或者不放进背包，要么就不放，要么就只放一个。前面提到的那个案例就是01背包问题，01背包问题是所有背包问题的基础，基本上理解了01问题，接下来的完全背包问题，多重背包问题都能很快明白。
像我前面提到了大堆文字，其实数学公式非常简洁明了，01问题的最优价值假设为 $opt(i,w)$ ，那么具体迭代或者说，状态转移方程(你可以理解为这个阶段和上一个阶段之间缠绵的关系)如下：
$(1).opt(i,w)=0\qquad if \; i\leq0$
$(2).opt(i,w)=opt(i-1,w)\qquad if \; weight_i\geq w$
$(3).opt(i,w)=max\lbrace opt(i-1,w),opt(i-1,w-weight_i)+value_i \rbrace \qquad otherwise$
直接上代码：

def main():
    w = 11  # 背包容量
    n = 5  # 物品种类/个数
    # 对应为物品a,b,c,d,e
    value = [1, 6, 18, 22, 28]  # 价值
    weight = [1, 2, 5, 6, 7]  # 开销

    # 01问题
    zero_one_problem(w, n, weight, value)


# 01问题
def zero_one_problem(w, n, weight, value):
    # 创建一个大小为w+1 * n+1 的全零矩阵，用来放结果
    matix = [[0 for i in range(w + 1)] for j in range(n + 1)]

    # 背包种类个数开始上升
    for row in range(1, n + 1):
        # 容量从1开始增长
        for col in range(1, w + 1):
            # 先看看新来的花费是不是大于当前容量
            if (weight[row - 1] > col):
                # 如果是，就在前面找最大值
                matix[row][col] = matix[row - 1][col]
            else:
                # 如果不是，就看看新增一个物品价值牛逼点，还是不用这个物品也很厉害
                matix[row][col] = max(matix[row - 1][col], value[row - 1] + matix[row - 1][col - weight[row - 1]])
    print('0/1背包问题的各种条件下的最优值矩阵：')
    for it in matix:
        for i in it:
            print(i, '\t', end='')
        print()
    # 看看对应某一个位置对应放了什么物品
    res = [0 for heh in range(n)]
    row = n  # row和col为你要查的某个元素的坐标对应的物品放置列表
    col = w  # 可改
    # 打印矩阵
    while row - 1:
        if matix[row][col] == (
                matix[row - 1][col - weight[row - 1]] + value[row - 1]):
            res[row - 1] = 1
            col = col - weight[row - 1]
        row -= 1
    res[0] = int(matix[1][col] / value[0])
    print('0/1背包问题坐标为%d,%d的背包物品存放列表：' % (n, w))
    print(res)
    print('-' * 50)


if __name__ == '__main__':
    main()

这里写图片描述

完全背包问题

完全背包问题看上去高大上了很多，其实它只是，假设每一种物品的个数都变成了无穷个。也就是，只要你想放这个物品，那么想要多少有多少。虽然看上去难了很多了，其实只要把01问题的第二个方程去掉，然后最后一个方程 $max$ 的第二个参数改成，让新来的物品个数k从0到 $k_{max}$ ，之所以会有 $k_{max}$ 这项，是因为即使物品是取之不尽的，背包容量总是有限的， $k_{max}$ 的得来就是 $\frac k{weight_i}$ 向下取整得到（即假设新来的物品尽可能放），公式变成：
$(1).opt(i,w)=0\qquad if \; i\leq0$
$(2).opt(i,w)=max\lbrace opt(i-1,w),opt(i-1,w-k\times weight_i)+k\times value_i \rbrace \qquad otherwise$
其中 $0\leq k \leq k_{max}$ ，因为要让新来的物品从0到最多都试一试，看看取几个能组合出最厉害的组合。

def main():
    w = 11  # 背包容量
    n = 5  # 物品种类/个数
    # 对应为物品a,b,c,d,e
    value = [1, 6, 18, 22, 28]  # 物品价值
    weight = [1, 2, 5, 6, 7]  # 物品重量

    # 完全背包问题
    complete_problem(w, n, weight, value)


# 完全背包问题
def complete_problem(w, n, weight, value):
    # 创建一个大小为w+1 * n+1 的全零矩阵，用来放结果
    matix = [[0 for i in range(w + 1)] for j in range(n + 1)]

    # 背包种类个数开始上升
    for row in range(1, n + 1):
        # 容量从1开始增长
        for col in range(1, w + 1):
            max_k = int(col / weight[row - 1])  # 不限个数，所以只要新增背包上限不超过总容量即可
            for k in range(max_k + 1):
                matix[row][col] = max(matix[row - 1][col],
                                      k * value[row - 1] + matix[row - 1][col - k * weight[row - 1]])
    print('完全背包问题的各种条件下的最优值矩阵：')
    for it in matix:
        for i in it:
            print(i, '\t', end='')
        print()

    # 获取最优值矩阵中某个位置为行row，列col的点的物品放置列表
    res = [0 for heh in range(n)]
    row = n  # row和col为你要查的某个元素的坐标对应的物品放置列表
    col = w  # 可改
    # 打印矩阵
    # 这个求解方法完全是反向思维，即上面求解倒着来，要多加理解
    while row - 1:
        count = int(col / weight[row - 1])
        for k in range(count, 0, -1):
            if matix[row][col] == (
                    matix[row - 1][col - weight[row - 1] * k] + k * value[row - 1]):
                res[row - 1] = k
                col = col - k * weight[row - 1]
                break
        row -= 1
    res[0] = int(matix[1][col] / value[0])
    print('完全背包问题坐标为%d,%d的背包物品存放列表：' % (n, w))
    print(res)
    print('-' * 50)


if __name__ == '__main__':
    main()

这里写图片描述

多重背包问题

其实这个只是比完全背包问题的弱化版本，即可能物品能取的个数是有限制的。比如 $abcde$ 每种均只能取3个，那么和完全背包问题的优化公式基本一样，只是 $k_{max}$ 变成了 $min\lbrace 限制数量，使w不超限最大数量 \rbrace$
$(1).opt(i,w)=0\qquad if \; i\leq0$
$(2).opt(i,w)=max\lbrace opt(i-1,w),opt(i-1,w-k\times weight_i)+k\times value_i \rbrace \qquad otherwise$
其中 $0\leq k \leq k_{max}$
代码：

def main():
    w = 11  # 背包容量
    n = 5  # 物品种类/个数
    # 对应为物品a,b,c,d,e
    value = [1, 6, 18, 22, 28]  # 物品价值
    weight = [1, 2, 5, 6, 7]  # 物品重量

    # 多重背包问题，多了一个数量限制
    num = [1, 1, 1, 1, 1]  # 背包个数，如果都是1，那么多重背包问题其实就是一个01背包问题
    # num = [3, 3, 3, 3, 3]  # 背包个数，上下两个切换注释看一看
    multiple_problem(w, n, weight, value, num)


# 多重背包问题
def multiple_problem(w, n, weight, value, num):
    # 创建一个大小为w+1 * n+1 的全零矩阵，用来放结果
    matix = [[0 for i in range(w + 1)] for j in range(n + 1)]

    # 背包种类个数开始上升
    for row in range(1, n + 1):
        # 容量从1开始增长
        for col in range(1, w + 1):
            # 有限个数，所以要在不超出背包容量和限制个数的条件下选一个值
            # 最小值满足木桶的短板理论，即能放多少，取决于少的那个数
            max_k = min(int(col / weight[row - 1]), num[row - 1])
            for k in range(max_k + 1):
                matix[row][col] = max(matix[row - 1][col],
                                      k * value[row - 1] + matix[row - 1][col - k * weight[row - 1]])
    print('多重背包问题的各种条件下的最优值矩阵：')
    for it in matix:
        for i in it:
            print(i, '\t', end='')
        print()

    # 获取最优值矩阵中某个位置为行row，列col的点的物品放置列表
    res = [0 for heh in range(n)]
    row = n  # row和col为你要查的某个元素的坐标对应的物品放置列表
    col = w  # 可改
    # 打印矩阵
    while row - 1:
        count = min(int(col / weight[row - 1]), num[row - 1])
        for k in range(count, 0, -1):
            if matix[row][col] == (
                    matix[row - 1][col - weight[row - 1] * k] + k * value[row - 1]):
                res[row - 1] = k
                col = col - k * weight[row - 1]
                break
        row -= 1
    res[0] = int(matix[1][col] / value[0])
    print('多重背包问题坐标为%d,%d的背包物品存放列表：' % (n, w))
    print(res)


if __name__ == '__main__':
    main()

这里写图片描述

后话

其实我这些代码段都是写在一起的，只不过为了布局就把它们全部拆开了。另外动态规划解决这个问题我感觉太”贪心了”，因为如果是一个多重背包问题，且背包数量有很多个，那么第一个装得太满就导致后面的背包只能装一些歪瓜裂枣。解决办法有用模拟退火算法或者遗传算法。

虽然这次背包算法也还是没有给我带来什么惊喜，但总归是有所收获的。

背包问题之：01背包、完全背包、多重背包（本文源码可求物品放置列表）

动态规划

背包问题

问题具体化

01背包问题

完全背包问题

多重背包问题

后话

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