引言

刚刚在看一篇题解的时候发现了这种容斥，我觉得很新奇，同时觉得这东西应该挺有用

正文

假设一共有 $n$个人，我要计算“恰好有 $k$个人满足某特定条件”的方案数

我先钦定某 $i$个人满足这个特定条件（其他人满足不满足无所谓）。然后在这 $i$个人满足条件的情况下，得到的方案数为 $f(i)$。

那么

$ans = \sum_{i=k}^{up} (-1)^{i-k} \binom{i}{k} \binom{n}{i} f(i)$

其中
$(-1)^{i-k} \binom{i}{k}$
就是容斥系数

先说一个公式，方便下面的证明

$\binom{n}{r} \binom{r}{l} = \binom{n}{l} \binom{n-l}{r-l}$

先举几个例子：

对于“恰好有 $k$个人满足条件”的情况，在 $i=k$的时候计算了一次

对于“恰好有 $k+1$个人满足条件”的情况，在 $i=k$的时候算了 $\binom{k+1}{k}$次，所以这种情况的系数我要用 $-\binom{k+1}{1}$

对于“恰好有 $k+2$个人满足条件”的情况，在 $i=k$的时候被算了 $\binom{k+2}{k}$次，在 $i=k+1$的时候被算了 $-\binom{k+2}{k+1} \binom{k+1}{k} = -\binom{k+2}{k} \binom{2}{1}$次（利用前面描述的公式），前面一共被算了 $\binom{k+2}{k}$次，所以其系数应该是 $\binom{k+2}{k}$

很神奇是不是？

对于 $i=k+t$的情况，我来看看这种情况是不是恰好总共被算了 $0$次：

$\binom{k+t}{k} - \binom{k+t}{k+1} \binom{k+1}{k} + \binom{k+t}{k+2} \binom{k+2}{k} - \binom{k+t}{k+3}\binom{k+3}{k} + ... (-1)^t \binom{k+t}{k}$

根据我之前说的公式，上述式子可以化简成：

$\binom{k+t}{k} - \binom{k+t}{k} \binom{t}{1} + \binom{k+t}{k} \binom{t}{2} - \binom{k+t}{k}\binom{t}{3} + ... (-1)^t \binom{k+t}{k}$

咦？开始有点意思了，我把 $\binom{k+t}{k}$提出来之后，其实就是这个：

$\binom{k+t}{k} \sum_{i=0}^t (-1)^i \binom{t}{i}$

杨辉三角形每一行奇数项的和等于偶数项的和，这个是常识。所以这个系数就等于 $0$

Wow! Amazing!