1.线性DP
递推的顺序是线性的。
1.数字三角形
算法思想:自上而下,判断可以选择的两个数中较大的那个。
#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
const int N = 510;
int f[N][N];
int main()
{
int n ;
cin >> n;
memset(f , -0x3f , sizeof f);//初始化为负无穷
for(int i = 1 ; i <= n ; i++)
for(int j = 1 ; j <= i ; j++)
cin >> f[i][j];
for(int i = 2 ; i <= n ; i++)//一定要从第二行开始
for(int j = 1 ; j <= i ; j++)
f[i][j] += max(f[i - 1][j] , f[i - 1][j - 1]);
int ans = f[n][1];
for(int i = 2 ; i <= n ; i++)
ans = max(ans , f[n][i]) ;
cout << ans << endl;
}
2.最长上升子序列I O(n2)
算法思想:以倒数第二个数分类,如果最后一个数比倒数第二个大,进而判断长度。
#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 1010;
int a[N];
int f[N];
int main()
{
int n;
cin >> n;
a[0] = -0x3f3f3f3f;
for(int i = 1 ; i <= n ; i++) {
cin >> a[i];
for(int j = 0 ; j <= i - 1 ; j++)
if(a[i] > a[j]) f[i] = max(f[i] , f[j] + 1);
}
int ans = 0 ;
for(int i = 1 ; i <= n ; i++) ans = max(ans , f[i]);
cout << ans << endl;
return 0;
}
2.最长上升子序列II
题目:给定一个长度为N的数列,求数值严格单调递增的子序列的长度最长是多少。
1≤N≤100000,
−109≤数列中的数≤109
算法思想:维护一个数组,里面存储一个上升子序列中,末尾元素最小的值
#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 100010;
int a[N];
int q[N];
int len;
int main()
{
int n;
cin >> n;
for(int i = 0 ; i < n ; i++) cin >> a[i];
q[0] = -2e9;
for(int i = 0 ; i < n ; i++)
{
int l = 0 , r = len;
while(l < r)
{
int mid = l + r + 1 >> 1;
if(q[mid] < a[i]) l = mid;
else r = mid - 1;
}
len = max(len , r + 1);
q[r + 1] = a[i];
}
cout << len << endl;
return 0;
}
3.最长公共子序列
题目:给定两个长度分别为N和M的字符串A和B,求既是A的子序列又是B的子序列的字符串长度最长是多少。
f[i-1][j]表示X的前 i-1 个字符和Y的前 j 个字符的LCS的长度
f[i][j-1]表示X的前 i 个字符和Y的前 j-1 个字符的LCS的长度
f[i-1][j-1]表示X的前 i-1 个字符和Y的前 j-1 个字符的LCS的长度
f[i][j]表示X的前 i 个字符和Y的前 j 个字符的LCS的长度
如果X的第 i 个字符和Y的第 j 个字符相等,则f[i][j] = f[i-1][j-1]+1
如果X的第 i 个字符和Y的第 j 个字符不相等,则f[i][j] = max(f[i-1][j],f[i][j-1])
#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 1010;
int n , m;
char a[N] , b[N];
int f[N][N];//f[i][j]表示在第一个序列的前i个字母中出现,并且在第二个序列的前
//j个字母中出现的子序列的长度。
int main()
{
cin >> n >> m >> a + 1 >> b + 1;
for(int i = 1 ; i <= n ; i++)
for(int j = 1 ; j <= m ; j++)
{
f[i][j] = max(f[i -1][j] , f[i][j - 1]);
f[i][j] = max(f[i][j] , f[i - 1][j - 1] + a[i] != b[j]);
}
cout << f[n][m] << endl;
return 0;
}
4 . 最短编辑距离
给定两个字符串A和B,现在要将A经过若干操作变为B,可进行的操作有:
- 删除–将字符串A中的某个字符删除。
- 插入–在字符串A的某个位置插入某个字符。
- 替换–将字符串A中的某个字符替换为另一个字符。
算法思路:创建一个f[N][N],f[i][j]表示,a中前i个字母变成b中前j个字母最少的步骤。因为有三种操作方式,因此在计算f[i][j]时,要在之前的基础上利用三种操作,并且取min。
#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 1010;
int n , m;
char a[N] , b[N];
int f[N][N];
int main()
{
cin >> n >> a + 1 >> m >> b + 1;
for(int i = 0 ; i <= m ; i++) f[0][i] = i;
for(int i = 0 ; i <= n ; i++) f[i][0] = i;
for(int i = 1 ; i <= n ; i++)
for(int j = 1 ; j <= m ; j++)
{ //必然会经过这一步,所以不用判断
f[i][j] = min(f[i][j - 1] + 1 , f[i - 1][j] + 1);
if(a[i] == b[j]) f[i][j] = min(f[i][j] , f[i - 1][j - 1]);
else f[i][j] = min(f[i][j] , f[i - 1][j - 1] + 1);
}
cout << f[n][m] << endl;
return 0;
}
2.区间DP
题目:合并石子。
算法思想:因为每次合并都是将左边一堆和右边一堆合并,所以以左右堆的分界线为分类依据,与此同时,为了在计算大区间时,小区间已经被计算了,所以要先计算小区间,即也要以区间长度为分类大前提。
#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 310;
int a[N];
int f[N][N];
int n;
int main()
{
cin >> n;
for(int i = 1 ; i <= n ; i++)//计算前缀和
{
cin >> a[i];
a[i] += a[i - 1];
}
for(int len = 2 ; len <= n ; len++)//为保证计算较大的区间时小区间已经被计算,所以以区间长度分类,长度自小到大。
for(int i = 1 ; i + len - 1 <= n ; i++)
{
int l = i , r = i + len - 1;
f[l][r] = 0x3f3f3f3f;
for(int k = l ; k < r ; k++)
f[l][r] = min(f[l][r] , f[l][k] + f[k + 1][r] + a[r] - a[l - 1]);
}
cout << f[1][n] << endl;
}
3. 计数DP
题目:f[i][j]表示用1~i中间的数凑出j
方案有选0个i,1个i,2个i…,然后全部加起来。
f[i][j] = f[i-1][j] + f[i-1][j-i] + f[i-1][j-2i] +…+f[i-1][j-si]
f[i][j-i] = f[i-1][j-i] + f[i-1][j-2i] +…+f[i-1][j-si]
所以f[i][j] = f[i-1][j] + f[i][j-i]
为了减少一维,从前往后遍历j,使得要用到的f已经被计算过。
#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 1010 , P = 1e9 + 7;
int f[N];
int main()
{
int n;
cin >> n;
f[0] = 1;
for(int i = 1 ; i <= n ; i++)
for(int j = i ; j <= n ; j++)
f[j] = (f[j] + f[j - i]) % P;
cout << f[n] << endl;
return 0;
}