一、串联谐振网络
我们一般会使用谐振网络来对信号进行选频。具体来讲,我们利用谐振现象;当信号处于谐振频率时,电路的总阻抗最小,为
R,回路中的电流最大。
我们看看串联谐振的电路:
注意,这里的
R 是电感线圈的损耗(并不是外加电阻),电路的总阻抗为:
X=R+jωL+jωC1=R+j(ωL−ωC1)
因此,我们可以发现当信号的频率恰好为:
ω0=LC
1 时电路的总阻抗最小,为
R
因此,我们下面就可以画出阻抗-频率曲线(a)和电流-频率曲线(b)
分析图(a)可知,在频率
ω0 的左侧,
ωL<ωC1,因此,电路中电容C较强势,电路呈容性;在频率
ω0 右侧,则
ωL>ωC1,因此,电路呈感性。
图(b)也可以发现,在频率为
ω0 时,电路的电流最大。品质因数的问题我们暂且不管他,放在下一节学习。
1.1 品质因数的一种定义和意义
【1】我们定义:用品质因数 Q 去衡量电感线圈的损耗。也就是说用电感的电抗比上电感线圈的损耗,即:
Q=RωL
而在谐振时,因为我们有:
ω0L=ω0C1
因此,我们再定义一个回路的品质因数(注意:回路的品质因数只有在谐振时才有,但是电感的品质因数是一直都存在的!!)那么,回路的品质因数我们定义为:
Q=Rω0L=ω0RC1
下面,我们看看在谐振发生时,电路中电感线圈和电容的电压分别是多少:
UL˙=Rjω0LUs˙=jQU˙s
我们发现在谐振时,电感上的电压大小是信号电压的
Q 倍。
看看电容C的电压:
UC˙=Rjω0C1Us˙=jω0CR1Us˙=−jQUs˙
同样,我们也发现电容的电压大小也是信号源电压大小的
Q 倍,并且和电感电压大小相等,方向相反,也就是它们相互抵消了。(这也是可以理解的,因为电感
L 和电容
C 都是储能元件,是不耗能的,因此最终电路消耗的能量都是电感线圈的损耗
R 产生的)
另外一点,基于在谐振时,电容和电感上的电压远大于信号源电压,因此在把 L, C 接入电路时要特别注意元件的耐压问题!
1.2 谐振曲线的定义
我们先看看如何定义谐振曲线:电路中电流幅值和外加电压频率之间的关系曲线。
这里的幅值,我们用归一化实现,即
I(ω0)˙I(ω)˙:
N(ω)˙=I(ω0)˙I(ω)˙=RUs˙R+j(ωL−ωC1)Us˙=R+j(ωL−ωC1)R=1+jRω0L(ω0ω−ωω0)1=1+jQ(ω0ω−ωω0)1
我们通过化简发现,这是一个复数,那么我们可以把它表示成:
N(ω)˙=N(ω)ejφ(ω)
其中,
N(ω) 代表幅值,
φ(ω) 代表相位。那么,谐振曲线就可以分为幅频特性和相频特性两部分来讨论了!
1.2.1 幅频特性
通过上面的表达式我们可以知道,这个复数
N(ω)˙=N(ω)ejφ(ω) 的幅值可以表示成:
∣N(ω)∣=1+Q2(ω0ω−ωω0)2
1
我们要注意到一个事情:就这这个幅频特性曲线的样子是由两部分决定的,一个是 Q (特别留意这个的Q 是回路的 Q !) ;另一个是
ω0ω−ωω0。我们先看看
ω0ω−ωω0:它可以反应信号的失谐,**也就是信号频率和谐振频率的偏移程度,我们可以简单地用一个
△ω 表示。**如果
△ω 越大,那么表明偏离谐振频率越远,那么输出电流的幅度就会很小
第二个参数 Q :我们知道它之前描述的电感的损耗,而在这里,Q 也可以表示回路对频率的选择性。在失谐一样的情况下,Q 值越大,那么相同失谐下电流幅度的衰减就越快,如下图:
刚刚我们定义的失谐:
ω0ω−ωω0,是狭义失谐量。下面看看广义失谐量:广义失谐量应该还得考虑上 Q 的影响:我们定义:
ξ=R(失谐电抗X)
因此,我们就可以表示:
ξ=RωL−ωC1=Rω0Lω0ω−ω0CR1ωω0=Q(ω0ω−ωω0)
在失谐不太大的情况下,(也就是说输入信号的
ω 近似等于
ω0 时),我们把上面的式子化简一下,得到:
ξ=Qωω0ω2−ω02=Qωω0(ω−ω0)(ω+ω0)
将
ω≈ω0 带入,可以得到广义失谐的一个近似表达:
ξ=Qω0ω0(ω−ω0)2ω0=Qω02△ω=Qf02△f
那么,我们的幅频特性就可以简洁地表示为:
∣N(ω)∣=1+ξ2
1
1.2.2 通频带
所谓通频带,也就是这个电路允许信号某一部分频率成分通过的范围。一般来说,我们规定,当信号的幅值是最大值的0.707倍时对应的频率,就是通频带的边界了。
那么,为了计算一个谐振电路的带宽,我们就要先算出这个边界频率的值:
∣N(ω)∣=I0I=1+ξ2
1=2
1
也就是说,应有:
ξ=±1
而经过刚刚的分析,如果在失谐不大的情况下,有:
ξ≈Qf02△f
所以,我们就得到:
△f=±2Qf0,那么,整个电路的带宽就是:
B=2△f=Qf0
下面,一个问题来了:我们说如果谐振电路的 Q 越大,那么经过刚刚的分析我们知道,电路的选择性越好,通频带越窄,二者矛盾。
Q越大选择性越好这没问题,通频带越窄也是直观看出来。但是为什么说二者矛盾呢?因为我们知道,任何信号都不可能只有单一的频率
f0,都是包含一定的频率成分的,那么,既然我们想让这个信号通过电路,那么就一定会把它那些组成成分频率也包含进来。开始,如果通频带很窄,那么信号通过的时候就一定会造成失真。这不是我们想要的结果,因此我们说选择性强和通频带变窄是矛盾的!
1.2.3 相频特性
好了,刚刚看完了复数的幅值,现在我们来看看相位:根据复变函数的知识,我们知道相位的计算是:
Ψ(ω)=−arctan(Q(ω0ω−ωω0))=−arctan(ξ)
如下图所示:
那么,我们接下来看看Q 值会对相频特性曲线造成什么样的影响:
我们看到:Q 值越大,相频特性曲线在谐振频率
ω0 处的变化越激烈(越陡峭)。这是什么意思呢?也就是说系统的线性度变差了!我们突然想起来:一个系统要想信号无失真地通过,这个系统必然需要高一点的线性度。而我们发现:随着Q 的增大,电路的线性度减小,这就可能会造成信号的失真。 这和我们刚刚的讨论相互论证!
1.3 能量关系
我们知道:对于电容C而言:
iC=CdtduC
对于电感而言:
uL=LdtdiL
那么,某一时刻电容的功率为:
PC=iCuC=iCCdtduC
电感的功率为:
PL=iLuL=iLLdtdiL
如果电容和电感的初始能量为0,那么电容和电感的瞬时储能为:
WC=∫0tPCdt=21CuC2 WL=∫0tPLdt=21LiL2
如果我们设信号源为:
u=VSMsin(ωt),那么根据谐振时的特点,我们有:
iL=iR=RVSMsin(ωt) uC=−Qu=−QVSMsin(ωt)=QVSMcos(ωt)
那么,
WC=21CQ2VSM2cos2(ωt) WL=21L2R2VSM2sin2(ωt)=21CQ2VSM2sin2(ωt)
因此,在每一个周期内,C和L产生的能量加和都是一个定值。是不变的!
1.4 电源内阻和负载的影响
我们想想,如果加上了电源内阻和负载电阻,无非就是在串联谐振电路里面多串联一个内阻
Rs,
RL 罢了。
这对于电路的影响是什么呢?这势必会影响到品质因数 Q 。
我们先从品质因数的定义入手:品质因数 Q 是反应电路损耗的,如果电路中的电阻增大,势必损耗增大,那么电路的品质因数就会下降。选择性变差,通频带变宽。
下面定量分析:(注意:下面讨论的都是回路的品质因数,只有谐振时才会有!)
Q=R+Rs+RLω0L=1+RRs+RRLRω0L=1+RRs+RRLQ