买股票的最佳时机

描述

给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定的股票在第 i 天的价格。

设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 两笔 交易。

注意: 你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

样例

输入: [3,3,5,0,0,3,1,4]
输出: 6
解释: 在第 4 天（股票价格 = 0）的时候买入，在第 6 天（股票价格 = 3）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3 。随后，在第 7 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 8 天 （股票价格 = 4）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 4-1 = 3 。

输入: [1,2,3,4,5]
输出: 4
解释: 在第 1 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天 （股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5-1 = 4 。   
注意你不能在第 1 天和第 2 天接连购买股票，之后再将它们卖出。   
因为这样属于同时参与了多笔交易，你必须在再次购买前出售掉之前的股票。

输入: [7,6,4,3,1] 
输出: 0 
解释: 在这个情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。

难度

高，动态规划

解法

状态定义：f(x, y) -------- 第x笔交易在第y天能取得的最大利润

状态转移：

（1）当x == 1时 第一笔交易进行时

​ a：我们可以选择在第y天不卖出也不买入，

​ a-1：如果此时y == 0，即第0天，那么f(1, 0) = 0，即取得的最大利润为0。

​ a-2：如果此时y > 0，那么此时我们的第x笔交易在第y天能取得的最大利润是f(1, y - 1)，因为我们在第y天既不买入也不卖出，取得的最大利润自然和第x笔交易在第y - 1天能取得的最大利润相同。

​ b：我们可以选择在第y天卖出，

​ b-1：如果此时y == 0，显然，我们不可能在第0天卖出，这种情况不予讨论。

​ b-2：如果此时y > 0，f(x, y) = max(prices[y] - prices[b])，其中0 <= b < y，代表我们在第b天买入。

综上，对于x == 1的情况，当y == 0时，f(1, 0) = 0；当y > 0时，f(1, y) = max(f(1, y - 1), prices[y] - prices[b])，0 <= b < y。

（2）当x == 2时

​ a：我们可以选择在第y天不卖出也不买入，

​ a-1：如果此时y == 0，即第0天，那么f(x, y) = 0，即取得的最大利润为0。

​ a-2：如果此时y > 0，那么此时我们的第x笔交易在第y天能取得的最大利润是f(2, y - 1)，因为我们在第y天既不买入也不卖出，取得的最大利润自然和第x笔交易在第y - 1天能取得的最大利润相同。

​ b：我们可以选择在第y天卖出，

​ b-1：如果此时y == 0，显然，我们不可能在第0天卖出，这种情况不予讨论。

​ b-2：如果此时y > 0，f(x, y) = max(prices[y] - prices[b] ， f(1, b - 1))，其中0 <= b < y，代表我们在第b天买入。

综上，对于x == 2的情况，当y == 0时，f(2, 0) = 0；当y > 0时，f(2, y) = max(f(2, y - 1), prices[y] - prices[b] + f(1, b - 1))，0 <= b < y。

时间复杂度是O(kn ^ 2)，其中k为交易次数，n为prices数组的大小。空间复杂度是O(kn)。

例如：3，3，5，0，0，3，1，4

代码

class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices) {
        int result = 0;
        if(0 == prices.length){
            return result;
        }
        int[][] dp = new int[2][prices.length];
        for(int k = 0; k < 2; k++){               //循环两次交易
            dp[k][0] = 0;
            int min = prices[0];
            for(int i = 1; i < prices.length; i++){    //i代表正进行第i笔交易
                for(int b = 1; b < i; b++){          //b代表买入时间
                    if(k == 0){                           //第一次交易时
                        min = Math.min(min, prices[b]);
                    }else{                             //第二次交易时
                        min = Math.min(min, prices[b] - dp[k - 1][b - 1]);
                    }
                }
                dp[k][i] = Math.max(dp[k][i - 1], prices[i] - min);            //比较不卖出和卖出的利润
            }
        }
        return dp[1][prices.length - 1];
    }
}