快速傅里叶变换-初步想法

快速傅里叶变换就是执行多项式乘法。

朴素算法的话就是我们普通乘法的过程，复杂度是n^2。但是用傅里叶，可以打倒nlogn的复杂度。

好，首先给出两个式子

$\small f(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}...a_{n-1}x^{n-1}$

$\small g(x)=b_{0}+b_{1}x+b_{2}x^{2}+b_{3}x^{3}...b_{n-1}x^{n-1}$

朴素的算法就不讲了。

首先来讲一种点集表示方法。对于f(x)，把a当作未知数的话，一共有n个未知数，然后把f(x)看成一个函数的话，解出这n个未知数需要n个点，所以我们可以把f(x)和g(x)表示成下面这种形式

$\small f(x)={(x_{0},f(x_{0})),(x_{1},f(x_{1})),(x_{2},f(x_{2})).(x_{3},f(x_{3}))...(x_{n-1},f(x_{n-1}))}$

$\small g(x)={(x_{0},g(x_{0})),(x_{1},g(x_{1})),(x_{2},g(x_{2})).(x_{3},g(x_{3}))...(x_{n-1},g(x_{n-1}))}$

然后相乘的话就可以表示成为这样子。

$\small f(x)={(x_{0},f(x_{0})*g(x_{0})),(x_{1},f(x_{1}*g(x_{1})),(x_{2},f(x_{2}*g(x_{2})).(x_{3},f(x_{3})*g(x_{3}))...(x_{n-1},f(x_{n-1})*g(x_{n-1}))}$

没错就这样变成了O（n）的复杂度，很巧妙吧，但是遗憾的告诉你，多项式转化为点集的朴素方法也需要n^2的复杂度...

但是傅里叶就厉害了，它就对此进行了优化，从而就有了快速傅里叶变换。

```后续更新，时间不足。

gerayking

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