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仿真

实验原理

建模

假设一个物体在二维平面中移动。对位置和速度在 $\tau=0,h,2h,...$上进行采样。

• 长度2向量 $p_t$是 $\tau=0,h,2h,...,(T-1)h$时刻的位置向量
• 长度2向量 $v_t$是 $\tau=0,h,2h,...,(T-1)h$时刻的速度向量
• 长度2向量 $f_t$是 $\tau=0,h,2h,...,(T-1)h$时刻施加于物体的作用力向量
• 长度4向量是 $\tau=0,h,2h,...$时刻的物体状态

作用力的计算

$f_t=mg-\eta(v_t-\omega)$

• $\omega$为风速
• $\eta(v_t-\omega)$为阻力

状态转移

$p_{t+1}=p_t+hv_t$， $v_{t+1}=v_t+\frac{h}{m}f_t$

综合得 $v_{t+1}=(1-\frac{h\eta}{m})v_t+(hg+\frac{h\eta\omega}{m})$

建立状态转移模型 $x_{t+1}=Ax_t+b$，下角标表示某一维度

实验步骤与结果

仿真参数： $m=5\quad T=100\quad h=0.1\quad \eta=0.05\quad p_0=0$

分别选取 $\theta$为30°、45°、80°，v为50、75、100， $\omega$（[x,y]）为[0,0]、[-10,0]、[-10,-10]，得到结果如下

实验分析

相同v和 $\omega$条件下，不同发射角度会产生不同发射距离， $\theta=45°$时发射距离最远

相同v和 $\theta$条件下，不同发射速度会产生不同发射距离，v越大发射距离越远

$\omega$不同方向上分量大小，会影响不同方向上的运动距离

制导问题

实验原理

已知初始点 $p_0$和目标点 $p_T$，给定 $h,m,\omega,\eta$，寻找合适的 $v_0$

$x_T$可以表示为，其中

$F$表示了初始状态对最终状态的作用， $j$表示了运动过程中重力与风的作用

单看 $p_T$，即 $x_T$的前两位，则有，其中 $F_{11}$是 $F$的左上 $2\times2$分块， $F_{12}$是 $F$的右上 $2\times2$分块， $j_1$是长度4向量j的前两位，使用该式子可以解出 $v_0$

实验步骤与结果

改变 $\omega$，令目标点分别为[100,0]、[200,0]、[300,0]，计算所需发射速度

实验分析

目标点y轴分量一致且子弹飞行时间一致时，发射速度y轴分量一致

子弹飞行时间一致时，目标点x轴分量越大，发射速度x轴分量越大

$\omega$不同方向上分量大小，会影响不同方向上的发射速度

鲁棒的制导问题

实验原理

对于一组给出的 $\omega$和 $\eta$测量数据，通过最小二乘法求取最合适的 $v_0$

目标函数：

使用共轭梯度下降法对目标函数进行优化

实验步骤与结果

随机生成10组 $\omega$和 $\eta$，以[0,0]为起点，[200,0]为目标点，生成目标函数，用共轭梯度法优化目标函数解出合适的 $v_0$。以 $v_0$为初速度，在不同 $\omega$和 $\eta$情况下的运动轨迹如图所示

实验分析

使用最小二乘法，将 $v_0$的两个分量视为两个自变量，构造残差函数，可以计算出最适合的 $v_0$，使得在不同外界条件影响下，最终落点尽可能接近目标点

三维空间的情况

对于三维空间，只需要将长度2向量扩增为长度3向量即可。相应地，A、b、C、d也需要进行扩增。

3D仿真

3D制导问题

3D鲁棒制导问题