题目大意

有两个数列 $a,b$，定义如下。已知数列 $a$有一个性质：对于任意的正整数 $x$，存在唯一的整数对 $(p,q)$，满足 $a_q-a_p=x$。现在有 $n$个询问，每个询问给出一个正整数 $x_i$，求出与之对应的整数对 $(p_i,q_i)$（先输出 $q_i$，后输出 $p_i$）。

$\begin{aligned} a_n&=\begin{cases} n&n\leqslant 2\\ 2a_{n-1}&\text{$n>2$, $n\mod 2=1$}\\ a_{n-1}+b_{n-1}&\text{$n>2$, $n\mod 2=0$} \end{cases}\\ b_n&=\text{mex}\lbrace\vert a_i-a_j\vert\vert1\leqslant i,j\leqslant n\rbrace \end{aligned}$

$n\leqslant 250000$， $x_i\leqslant 10^9$。

思路

这是一道非常奇葩的题目。首先暴力打表方便找规律：

注意到数列 $a$的递推式中有 $a_n=2a_{n-1}$的部分，这意味着 $a_n$增长得特别快，第60项以前就超过了 $10^9$。因此确定一个界限 $N$，让该界限内 $a_n$的值不至于远远超过 $10^9$。先暴力计算 $a,b$数列的前 $N$项，统计可能出现的 $a_q-a_p$的值，并记下与之对应的数对 $(p,q)$，时间复杂度 $O(N^2)$。

若在刚才的暴力计算中出现了询问的 $x$，说明 $a_q,a_p$都比较小，直接输出对应的数对作为答案。下面讨论 $a_p,a_q$都特别大（远大于 $10^9$）的情况：

• $q$为偶数时，
  • 若 $q-p=1$，有 $a_q=a_p+b_p$，即 $a_q-a_p=b_p$。
  • 若 $q-p=2$，有 $a_q=a_{p+1}+b_{p+1}=2a_p+b_{p+1}$，即 $a_q-a_p=a_p+b_{p+1}$，与 $x\leqslant 10^9$矛盾，排除。
  • 若 $q-p>2$， $a_q-a_p$的值只会更大，排除。
• $q$为奇数时，
  • 若 $q-p=1$，有 $a_q=2a_p$，即 $a_q-a_p=a_p$，与 $x\leqslant 10^9$矛盾，排除。
  • 若 $q-p\geqslant 2$，跟 $q$为偶数的情况类似，均排除。

经过上述讨论发现，若 $a_p,a_q$特别大，答案 $(p,q)$一定满足 $q$为偶数， $b_p=x$，且 $q-p=1$。于是问题变成了已知 $b_p$的值，求 $b_p$的下标 $p$。下面观察数列 $b$：

• $n$为偶数时，有 $a_n=a_{n-1}+b_{n-1}$。此时集合 $\lbrace\vert a_i-a_j\vert\vert1\leqslant i,j\leqslant n\rbrace$中出现了 $\vert a_n-a_{n-1}\vert=b_{n-1}$，因此一定有 $b_n>b_{n-1}$。
• $n$为奇数时，有 $a_n=2a_{n-1}$。此时集合 $\lbrace\vert a_i-a_j\vert\vert1\leqslant i,j\leqslant n\rbrace$中新添加的最小元素为 $a_n-a_{n-1}=a_{n-1}$，而该元素比原来集合中的最大元素 $a_{n-1}-a_{n-2}$还要大得多，因此该集合的 $\text{mex}$值不变，即 $b_n=b_{n-1}$。

所以 $b$数列靠后的项都是相邻两项相同，但大多数时候每次增加 $1$，有的时候增加的值超过 $1$。后者发生在 $n$为偶数时，集合中出现了 $b_{n-1}$，但集合中可能原来就有 $b_{n-1}+1$。这个 $b_{n-1}+1$在添加进集合的时候一定是远大于当时集合中的最大元素的（否则 $b_{n-1}$早就应该出现），也就是说 $b_{n-1}+1$是在之前 $n$为某个奇数时添加的。而由上文可知，此时添加的 $b_{n-1}+1$就是数列 $a$中的某一项。又因为 $b_{n-1}+1<b_n\leqslant 10^9$，所以数列 $a$中的这一项是包含在最开始暴力计算的前 $N$项当中的。

鉴于 $b$数列在第偶数项会发生变化，将 $N$设为奇数。假设 $b$数组靠后的项每次增加 $1$，有 $b_p=b_N+\frac{p-N}2$。但在数列 $a$的前 $N$项中可能已经出现了 $(b_N,b_p)$内的值，每一个这样的值都会导致 $b$数列在某一项多增加 $1$。二分查找求出这样的值的个数 $cnt$，于是

$b_p=b_N+\frac{p-N}2+cnt$

将 $b_p=x$代入，解得

$p=2\cdot(x-b_N-cnt)+N$