题目大意

有 $n$个结点，编号 $1$到 $n$。可以在当中连边，点 $i,j$之间可以连 $c_{i,j}$种颜色的边，且每对点之间最多连一条边。求使得整个图连通的连边方案数（边的颜色不同算作不同方案）。答案模 $1000000007$。

$8\leqslant n\leqslant 16$， $n\in Z$。

思路

设 $f[s]$表示将集合 $s$中的点连边，使得这些点连通的方案数。容易想到把集合 $s$分成两个小集合 $s_1,s_2$，用两个小的状态更新当前状态。然而这样有几个问题：

1. 两个小集合内的点不一定是连通的。
2. 同一种方案可能有多种划分的方式，方案会算重。
3. 状态转移需要在这两个小集合之间连边，连边的方案数很难处理。

正难则反，设 $g[s]$表示将集合 $s$中的点连边，使得这些点不连通的方案数， $h[s]$表示任意连边的方案数，则有 $f[s]=h[s]-g[s]$。由于每条边都有 $c_{i,j}+1$种选择（连 $c_{i,j}$种颜色的边以及不连边），可以得到 $h[s]$的表达式：

$h[s]=\prod_{i,j\in s}(c[i][j]+1)$

下面要求 $g[s]$，容易想到把集合 $s$分成两个小集合 $s_1,s_2$，用两个小的状态更新当前状态。然而这样有几个问题：

1. 两个小集合内的点不一定是不连通的。
2. 同一种方案可能有多种划分的方式，方案会算重。

这个时候就不能正难则反了，要敢于直面惨淡的人生。
既然 $s$中的点不连通，那么一定可以从其中选出一个连通的部分出来（设为 $s_1$），而另一部分连不连通不重要，因为这两部分中间没有连边，整个图一定是不连通的。可以初步写出递推式：

$g[s]=\sum_{s_1\cup s_2=s}f[s_1]\cdot h[s_2]$

但是方案数依然会算重，因为同一种方案中有多个连通块可以当做 $s_1$。解决方法很简单，在集合 $s$中任选一个点 $k$，枚举 $s_1$的时候保证 $k\in s_1$，就不会多解； $s_1$的大小是任意的，所以也不会漏解。