【NeurIPS 2019】最大熵的蒙特卡洛规划算法

论文题目：Maximum Entropy Monte-Carlo Planning

标题及作者信息

所解决的问题？

作者提出了一个新的stochastic softmax bandit框架；
将其扩展到MCTS上，得到了Maximum Entropy for Tree Search (MENTS)算法。

将softmax state value引入，在back-propaganda过程中会更容易收敛。作者在理论和实验部分都验证了这两个想法。

背景

MCTS

Monte Carlo Tree Search (MCTS)是一种非常好的能够获取全局最优的算法，同时也可以通过引入先验知识对其进行加强。它的核心问题在于exploitation和exploration的平衡。而MCTS的收敛性高度依赖于state value的 estimation。而MCTS通过simulation获得当前状态的估计这种做法并不是非常高效，因此在sample的过程中你的policy会发生改变，导致你的序列期望收益会发生漂移(drift)，因此 UCT can only guarantee a polynomial convergence rate of ﬁnding the best action at the root。MCTS主要可以分为两步：1. tree policy选择action，直到到达叶子节点。2. 一个evaluation function需要评估simulation return，你可以选择近函数近似的方式来逼近这个值，但是在MCTS中采用的是roll-out policy获取simulation return。

maximum upper conﬁdence bound(UCB)算法用于平衡探索和利用：

$\operatorname{UCB}(s, a)=Q(s, a)+c \sqrt{\frac{\log N(s)}{N(s, a)}}$

其中 $N(s)=\sum_{a}N(s,a)$ ， $c$ 是控制exploration的参数。

Maximum Entropy Policy Optimization

最大熵的策略优化问题其实就是在expected reward目标上引入一个entropy的约束。可表示为：

$\max _{\pi}\{\pi \cdot \mathbf{r}+\tau \mathcal{H}(\pi)\}$

其中 $\tau$ 是控制exploration的参数。定义softmax $\mathcal{F_{\tau}}$ 和soft indmax $\mathbf{f}_{\tau}$ ：

$\mathbf{f}_{\tau}(\mathbf{r})=\exp \left\{\left(\mathbf{r}-\mathcal{F}_{\tau}(\mathbf{r})\right) / \tau\right\}$

$\quad \mathcal{F}_{\tau}(\mathbf{r})=\tau \log \sum_{a} \exp (r(a) / \tau)$

其中的关系为：

$\mathcal{F}_{\tau}(\mathbf{r})=\max _{\pi}\{\pi \cdot \mathbf{r}+\tau \mathcal{H}(\pi)\}=\mathbf{f}_{\tau}(\mathbf{r}) \cdot \mathbf{r}+\tau \mathcal{H}\left(\mathbf{f}_{\tau}(\mathbf{r})\right)$

因此用softmax value function去替代hard-max operator可以得到softmax operator：

$Q_{\mathrm{sft}}^{*}(s, a)=R(s, a)+\mathbb{E}_{s^{\prime} | s, a}\left[V_{\mathrm{sft}}^{*}\left(s^{\prime}\right)\right]$

$V_{\mathrm{sft}}^{*}(s)=\tau \log \sum_{a} \exp \left\{Q_{\mathrm{sft}}^{*}(s, a) / \tau\right\}$

最后可以得到optimal softmax policy：

$\pi_{\mathrm{sft}}^{*}(a | s)=\exp \left\{\left(Q_{\mathrm{sft}}^{*}(s, a)-V_{\mathrm{sft}}^{*}(s)\right) / \tau\right\}$

Softmax Value Estimationin Stochastic Bandit

在stochastic bandit中，环境给定的reward是随机的，或者说会满足一个分布。stochastic softmax bandit 问题与传统的stochastic bandits问题的区别在于，它不是期望去找到最大化期望奖励的policy，而是去估计softmax value $V_{sft}^{*} = \mathcal{F}_{\tau}(\mathbf{r})$ 。定义 $U_{t}=\sum_{a} \exp \left\{\hat{r}_{t}(a) / \tau\right\}$ ， $U^{*}=\sum_{a} \exp \left\{r_{t}(a) / \tau\right\}$ 。因此会有 $V_{t} = \mathcal{F}_{\tau}(\hat{r}_{t})=\tau logU_{t}$ ，我们的目标就变成了最小化均方差误差 $\mathcal{E}$ 。

$\mathcal{E}_{t}=\mathbb{E}\left[\left(\hat{U}^{*}-U_{t}\right)^{2}\right]$

下界定理 Theorem1

基于上述讨论作者提出了一种解决序贯决策中softmax value估计的办法(Empirical Exponential Weight (E2W) )，直观的理解就是期望足够的探索用于保证得到较好的估计值，进而使得policy收敛于最优策略 $\pi^{*}$ 。动作的采样分布如下所示：

$\pi_{t}(a)=\left(1-\lambda_{t}\right) \mathbf{f}_{\tau}(\hat{\mathbf{r}})(a)+\lambda_{t} \frac{1}{|\mathcal{A}|}$

其中 $\lambda_{t}=\varepsilon|\mathcal{A}| / \log (t+1)$ ，表示探索的衰减系数。

Theorem2

所采用的方法？

作者将MCTS和maximum entropy policy结合起来，得到MENTS算法，能够获得更快的收敛速度。两点创新：

使用E2W算法作为树搜索的策略；

$\pi_{t}(a | s)=\left(1-\lambda_{s}\right) \mathbf{f}_{\tau}\left(\mathbf{Q}_{\mathrm{sft}}(s)\right)(a)+\lambda_{s} \frac{1}{|\mathcal{A}|}$

使用softmax value评估每个节点并用于simulations的反向传播。

其中Q-Value的估计使用softmax backup。

$Q_{\mathrm{sft}}\left(s_{t}, a_{t}\right)=\left\{\begin{array}{ll} r\left(s_{t}, a_{t}\right)+R & t=T-1 \\ r\left(s_{t}, a_{t}\right)+\mathcal{F}_{\tau}\left(\mathrm{Q}_{\mathrm{sft}}\left(s_{t+1}\right)\right) & t<T-1 \end{array}\right.$