题目地址：

https://www.lintcode.com/problem/convert-sorted-array-to-binary-search-tree-with-minimal-height/description

给定一个升序数组 $A$，将其转化为一棵BST，要求高度达到最小。

可以用递归解决。取 $A[mid]$作为树根， $A[mid]$是 $A$的中间数，然后递归建立左子树和右子树，接在root上即可。代码如下：

public class Solution {
    /*
     * @param A: an integer array
     * @return: A tree node
     */
    public TreeNode sortedArrayToBST(int[] A) {
        // write your code here
        return buildTree(A, 0, A.length - 1);
    }
    
    private TreeNode buildTree(int[] A, int l, int r) {
        if (l > r) {
            return null;
        }
        
        int m = l + (r - l >> 1);
        TreeNode root = new TreeNode(A[m]);
        root.left = buildTree(A, l, m - 1);
        root.right = buildTree(A, m + 1, r);
        return root;
    }
}

class TreeNode {
    int val;
    TreeNode left, right;
    TreeNode(int x) {
        val = x;
    }
}

时间复杂度 $O(n)$，空间 $O(\log n)$。

首先我们可以用数学归纳法证明建立出来的树确实是BST。接着我们先证明这个树是平衡的（含义是对于其每个子树，左右子树节点个数之差绝对值不超过 $1$）。数学归纳法：当 $|[l,r]|=0$或者 $|[l,r]|=1$，结论成立。假设结论对于 $|[l,r]|=k$时成立，当 $|[l,r]|=k+1$，如果 $k+1$是奇数，那么 $m$取的正好是数组正中央的数的下标，据数学归纳法，左右子树分别都是平衡的，整棵树也是平衡的，所以结论成立；而如果 $k+1$是偶数，那么 $m$取的是数组正中央偏左的数的下标，此时左子树节点数比右子树小 $1$，仍然是对的。所以结论对任何 $n$都对。

接着我们证明，即使对于一般的树，当树平衡时，其高度是最小的。也可以用数学归纳法证明。当树的节点个数是 $0,1,2$时结论成立；假设对于 $k$个节点的树结论也成立，当树有 $k+1$个节点时，假设其左右子树分别有 $u$和 $v$个节点，那么显然由数学归纳法，左右子树各自都是平衡的时候，整个树的高度最小。设树根为 $root$，左右子树分别为 $l$和 $r$，设 $d(root)$表示以 $root$为根的树的高度。如果 $u-v>1$的话，那么有 $u>u-1\ge v+1$，所以 $d(r)=1+\max(d(l),d(r))$假设将左子树移一个节点到右子树去后左右子树分别为 $l'$和 $r'$，则左子树比右子树节点数仍然多至少 $1$，所以 $d(r)\le d(r')\le d(l')\le d(l)$，也就是树的高度会变小。所以当树平衡时，其高度是最小的。