题目地址：

https://www.lintcode.com/problem/majority-element/description

给定一个数组，其中有一个数字出现的次数超过数组长度的一半。求出它。

可以用经典的摩尔投票算法，也就是Boyer-Moore Voting Algorithm。思路是这样的，从左向右扫描数组，同时维护一个变量count和另一个变量res储存最终答案。遍历到第一个数时， $res$初始化为第一个数，再将count加 $1$；此后，只要遇到等于res的数，就计count加一（相当于对其投票），如果遇到不同的数，就将count减一，如果count减到了 $0$，再遇到不同的数的时候，就将res改为那个新数，然后count加一，重新开始投票。扫描完数组后res存储的就是最终答案。代码如下：

import java.util.List;

public class Solution {
    /*
     * @param nums: a list of integers
     * @return: find a  majority number
     */
    public int majorityNumber(List<Integer> nums) {
        // write your code here
        int res = 0, count = 0;
        for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
        	// 如果计数为0，就选取新候选数并开始投票
            if (count == 0) {
                res = nums.get(i);
                count++;
            } else {
            	// 如果遇到相等的数则投票+1，否则投票-1
            	count += nums.get(i) == res ? 1 : -1;
            }
        }
        
        return res;
    }
}

时间复杂度 $O(n)$，空间 $O(1)$。

算法正确性证明：
构造一个数对序列，假设遍历到某数时 $b$，当前res为 $a$，如果 $b\ne a$，那么就写下一个数对 $(a,b)$，也就是说每当count减少时，就写下一个数对，这个数对数字次序可以交换。如果count增加的时候则不写。如此一来，当整个数组遍历完成之后，就可以写下不超过 $n/2$个数对，其中 $n$为数组长度。

首先证明，如果将所有数对里的数都从数组里删掉，那么数组剩下的数一定都相等。假如不然，那么存在两个数 $x\ne y$使得这两个数不属于任何数对，不妨设 $x$的位置在 $y$左边，那么当遍历到 $x$的时候，res里的数必然是 $x$，而在遍历到 $y$时，res里的数必然是 $y$，因为只有这样 $x$和 $y$才不会出现在任何数对里；然而这是不可能发生的，因为在遍历到 $y$之前， $x$对应的count必然已经清到 $0$了，所以 $x$必然属于某个数对。所以遍历完后不在数对里的数必然都相等。

接下来证明这些数就是出现次数大于一半的数 $a$。由于数对的数量是小于等于 $n/2$的，所以出现在数对里的 $a$的个数必然小于等于 $n/2$，而 $a$出现的总次数是大于 $n/2$的，所以 $a$一定会最后剩下，也就是res里会存储 $a$。证毕。