全排列和对换
定义,不需证明,是人为的一种设定。定理,性质,推论全部是可以证明的,推论的证明一般基于某定理或性质
排列及其逆序数
1.把n个不同元素排成一列,叫这n个元素的全排列
2.对于n个不同元素,先规定各元素之间有一个标准次序,于是在n个元素的任一排列中,当某对元素先后次序和标准次序不同时,说构成一个逆序。一个排列中所有逆序总数叫这个排列的逆序数。
3.逆序数为奇数的排列叫奇排列,为偶数的排列叫偶排列。
对换
1.定理一个排列中任意两个元素对话,排列改变奇偶性【基于相邻对换证明】
2.定理奇排列对换成标准排列的对话次数为奇数,偶排列对换成标准排列的对换次数为偶数。【任意排列对换为标准排列】
n阶行列式的定义
1.定义 设有n^2个数,排成n行n列的数表
∑(−1)ta1p1a2p2...anpn称为n阶行列式
p1,p2,…,pn为自然数是1,2…n的一个排列,t为这个排列的逆序数。
行列式代表的是一个数值,数表是行列式的一种表示形式。
2.性质 主对角先以下(上)元素都为0的行列式,叫上(下)三角行列式。这种行列式的值为主对角线元素 乘积。
3.性质 行列式和它的转置行列式相等
4.性质对换行列式的两行(列),行列式变号
5.性质如果行列式有两行(列)完全相同,则此行列式等于0
6.性质行列式的某一行(列)中所有元素乘同一数k,等于用数k乘此行列式
7.性质行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面。
8.性质行列式中如果有两行(列)元素成比例,则此行列式等于零
9.性质若行列式的某一行(列)的元素都是两数之和,则行列式等于两个行列式之和【特定行(列)元素拆分,构造的两个行列式】
10.性质把行列式的某一行(列)的各元素乘同一数然后加到另一行(列)对应的元素上去,行列式不变。
行列式按行(列)展开
1.定义n阶行列式中,把(i, j)元
aij所在的第i行和第j列划去后,留下来的n-1阶行列式叫做(i,j)元
aij的余子式,记做
Mij,记
Aij=(−1)i+jMij叫做(i,j)元
aij的代数余子式
2.定理
设
D=⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛a11...ak1c11...cn1..............................a1k...akkc1k...cnk0...0b11...bn1..............................0...0b1n...nnn⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞
D1=⎝⎜⎜⎜⎜⎛a11...ak1...............a1k...akk⎠⎟⎟⎟⎟⎞
D2=⎝⎜⎜⎜⎜⎛b11...bn1...............b1n...bnn⎠⎟⎟⎟⎟⎞
则D = D1D2
3.定理 一个n阶行列式,如果第i行的所有元素除(i,j)元
aij外都为0,那么这行列式等于
aij与它的代数余子式的乘积
D =
aijAij
该定理对列同样适合。
4.定理 行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和。即:
D=ai1Ai1+ai2Ai2+...+ainAin
或
D=a1jA1j+a2jA2j+...+anjAnj
5.定理 行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对于元素的代数余子式乘积之和等于0,即:
ai1Aj1+ai2Aj2+...+ainAjn=0,i!=j
或
a1iA1j+a2iA2j+...+aniAnj=0,i!=j
5.范德蒙德行列式
Dn=⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛1x1x12...x1n−11x2x22...x2n−1.....................1xnxn2...xnn−1⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞
Dn=n>=i>j>=1∏(xi−xj)