最小生成树(minimal spanning tree)
生成树的代价:设G=(V,E)是一个无向连通网,生成树上各边的权值之和称为该生成树的代价。
最小生成树:在图G所有生成树中,代价最小的生成树称为最小生成树。
MST( minimum spanning tree)性质
假设G=(V, E)是一个无向连通网,U是顶点集V的一个非空子集。若(u, v)是一条具有最小权值的边,其中u∈U,v∈V-U,则必存在一棵包含边(u, v)的最小生成树。
MST性质的应用
构造最小代价生成树
两种方法:Prime法:加点法,Kruskal方法:加边法
Prim算法
基本思想:
设G=(V, E)是具有n个顶点的连通网,T=(U, TE)是G的最小生成树, T的初始状态为U={u0}(u0∈V),TE={ },重复执行下述操作: 在所有u∈U,v∈V-U的边中找一条代价最小的边(u, v)并入集合TE,同时v并入U,直至U=V。
数据结构设计
数组lowcost[n]:用来保存集合V-U中各顶点与集合U中顶点最短边的权值,lowcost[v]=0表示顶点v已加入最小生成树中;
数组adjvex[n]:用来保存该边所依附的(集合V-U中各顶点与集合U中顶点的最短边)集合U中的顶点。
Prim算法——伪代码
1、初始化两个辅助数组lowcost(=arc[0][i])和adjvex(=0)(0是始点); 2、输出顶点u0,将顶点u0加入集合U中;
3、重复执行下列操作n-1次
3.1、在lowcost中选取最短边(lowcost[k]),取对应的顶点序号k;
3.2、输出顶点k和对应的权值;
3.3、将顶点k加入集合U中(lowcost[k]=0);
3.4、调整数组lowcost和adjvex;
Void prime(MGraph G){
for(int i=1;i<G.vertexNu;i++){
lowcost[i]=G.arc[0][i];
adjvex[i]=0;
}
lowcost[0]=0;
for(i=1;i<G.vertexNum;i+++){
k=MinEdge(lowcost,G.vertexNum)
cout<<K<<adjvex[k]<<lowcost[k];
lowcost[k]=0;
for(j=1;j<G.vertexNum;j++)
if((G.arc[k][j]<lowcost[j]){
lowcost[j]=G.arc[k][j];
arcvex[j]=k;
}
}
}
时间复杂性:O(n2),适用于稠密图。
Kruskal算法
基本思想:
1、设无向连通网为G=(V, E),令G的最小生成树为T=(U, TE),其初态为U=V,TE={ },
2、然后,按照边的权值由小到大的顺序,考察G的边集E中的各条边。2.1、若被考察的边的两个顶点属于T的两个不同的连通分量,则将此边作为最小生成树的边加入到T中,同时把两个连通分量连接为一个连通分量;
2.2、若被考察边的两个顶点属于同一个连通分量,则舍去此边,以免造成回路;
3、如此下去,当T中的连通分量个数为1时,此连通分量便为G的一棵最小生成树。
Kruskal算法思想
1、初始化:U=V; TE={ };
2、循环直到T中的连通分量个数为1
2.1、在E中寻找最短边(u,v);
2.2、如果顶点u、v位于T的两个不同连通分量,则
2.2.1、将边(u,v)并入TE;
2.2.2、将这两个连通分量合并为一个;
2.3、在E中标记边(u,v),使得(u,v)不参加后续最短边的选取;
Kruskal算法实现中的三个关键问题
1、图的存储结构
采用边集数组存储图。
2、如何判断一条边所依附的两个顶点在同一个连通分量中(并查集)
定义Parent[i]数组。数组分量的值表示顶点i的双亲节点(初值为-1;)
当一条边(u,v)的两个顶点的根结不同时,这两个结点属于不同的连通分量(利用parent 数组查找一棵树的根节点。当一个结点n的parent==-1,树的根节点即为n)
3、如何将一条边所依附的两个顶点合并到同一个连通分量中
要进行联通分量的合并 ,其中一个顶点所在的树的根节点为vex1,另一个顶点所在的树的根节点为vex2,则:parent[vex2]=vex1;
int Find(int *parent, int node){
int f;
f=node;
while(parent[f]>-1)
f=parent[f];
return f;
}
int main(){
int arcNum, int vertexNum;
EdgeNode *edge;
int *parent;
cout<<"please input the number of vertexNum:";
cin>>vertexNum;
cout<<"please input the number of edges:";
cin>>arcNum;
edge=new EdgeNode[arcNum];
parent=new int[vertexNum];
for(int i=0;i<arcNum;i++){
cout<<"Please input the edges:";
cin>>edge[i].from>>edge[i].to>>edge[i].weight;
}
sort(edges, G);
for (i=0;i<vertexNum;i++)
parent[i]=-1;
int k=0,begin,end,count=0;
cout<<"next is the MST :"<<endl;
for (k=0;k<arcNum;k++){
begin=edge[k].from;
end=edge[k].to;
int m,n;
m=Find(parent,begin);
n=Find(parent,end);
if(m!=n){
cout<<begin<<","<<end<<","<<edge[k].weight<<endl;
parent[n]=m;
count++;
if(count==vertexNum-1)
break;
}
}
return 0;
}
Kruskal算法的时间复杂性分析
边集数组排序,时间复杂性O(eloge),在e条边中选边,时间复杂性为O(e),因此时间复杂性为O(eloge)。